概率论

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概率论

第一章随机事件和概率

1.1 事件，样本空间，事件间的关系与运算

1.1.1 随机试验

对随机现象进行观察或实验称为随机试验，简称试验

特点

可以在相同条件下重复进行
所得的可能结果不止一个，且所有可能结果都能事前可知
每次具体实验之前无法预知会出现那个结果

1.1.2 样本空间

随机试验的每一结果称为样本点，记做w,由所有的样本空间点全体组成的集合为样本空间

1.1.3 随机事件

1.1.4 事件的包含

$如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A ，或称事件 A 包含事件 B ，记为 B \supset A ，或者 A \subset B$

1.1.5 事件的相等

$如果 A \supset B 与 B \supset A 同时成立, 称这样子的一个事件 A 与事件 B 相等，记做 A = B$

1.1.6 事件的交

$如果事件 A 与事件同时发生，就称这样子的一个事件为事件 A 与事件 B 的交或积, 记做 A \cap B 或 A B$

1.1.7 互斥事件

$如果事件 A 与 B 的关系 A B = \emptyset, 即 A 与 B 不能同时发生，则称事件 A 与事件 B 为互斥事件或互不相容$

1.1.8 事件的并

$如果事件 A 与事件 B 至少有一个发生，则称这样一个事件 A 与事件 B 的并或和，记为 A \cup B$

1.1.9 对立事件

$如果事件 A 与事件 B 仅有一个发生，即同时成立 A \cup B = Ω, A \cap B = \emptyset, 则称事件 A 与事件 b 为对立事件或互逆事件，记为 \overline{A} = B, 或者 \overline{B} = A$

1.1.10 事件运算规律


交换律	$A \cup B = B \cup A, A \cap B = B \cap A$
结合律	$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$
分配律	$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
对偶律	$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}, \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \overline{A - B} = \overline{A \overline{B}} = \overline{A} \cup B$

1.2 概率，条件概率，独立性

1.2.1 概率公理

P (A) \geq 0 对于必然事件 P (Ω) = 1 对于两两互斥的有限个事件 A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n} 有 P (A_{1} \cup A_{2} \dots \cup A_{n}) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots + P (A_{n})

1.2.2 条件概率

$设 A, B 两个事件，且 P (A) > 0, 称 P (B ∣ A) = \frac{P ( A B )}{P ( A )} 为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率$

1.2.3 事件的独立性

$设 A, B 两事件满足等式 P (A B) = P (A) P (B), 则称 A 与 B 相相独立同理可得 P (A_{i_{1}} A_{i_{2}} \dots A_{i_{k}}) = P (A_{i_{1}}) P (A_{i_{2}}) \dots P (A_{i_{k}}) 三个两两独立，才能推出 P (A BC) = P (A) P (B) P (C)$

特殊性

Ω 和 \emptyset


	$举例 Ω \supset B ， P (Ω B) = P (Ω) P (B), B 包含于 Ω ，但是 A 和 Ω 独立, Ω 和所有事件独立 \emptyset 和 B 互斥，因为 P (\emptyset B) = \emptyset, 又因为 P (\emptyset B) = P (\emptyset) P (B) ， \emptyset 和所有的事情独立又互斥$
	$概率为 1 的所有事件，和其他事件又包含又独立概率为 0 的所有事件，和其他事情又互斥又独立$
	$P (A) = 0 推不出 A = Ω$

1.2.4 概率的性质

P (\emptyset) = 0 对于两两互斥的有限个事件 A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n} 有 P (A_{1} \cup A_{2} \dots \cup A_{n}) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots + P (A_{n}) P (\overline{A}) = 1 - P (A) A \subset B, P (A) \leq P (B) 0 \leq P (A) \leq 1

1.2.5 相互独立的性质

$A 与 B 相互独立的充要条件是 A 与 \overline{B} 或 \overline{A} 与 B 或 \overline{A} 与 \overline{B} 相互独立当 0 < P (A) < 1 时， A 与 B 独立等价于 P (B ∣ A) = P (B) 或 P (B ∣ A) = P (B ∣ \overline{A})$

1.2.6 五大公式

加法公式

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B) P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A B) - P (BC) - P (A C) + P (A BC)$

减法公式

$P (A - B) = P (A) - P (A B) P (A \overline{B}) = P (A) - P (A B)$

乘法公式

$P (A B) = P (A) P (B ∣ A)$

全概率公式

$设 B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}, ⋃_{i = 1}^{n} B_{i} = Ω, B_{i} B_{j} = \emptyset, 且 P (B_{k}) > 0, 则有 P (A) = \sum_{i = 1}^{n} P (B_{i}) P (A ∣ B_{i})$

贝叶斯公式

$设 B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}, ⋃_{i = 1}^{n} B_{i} = Ω, B_{i} B_{j} = \emptyset, 且 P (B_{k}) > 0, k = 1, 2, \dots, n ，则 P (B_{j} ∣ A) = \frac{P ( B _{j} ) P ( A ∣ B _{j} )}{\sum _{i = 1}^{n} P ( B _{i} ) P ( A ∣ B _{i} )}, j = 1, 2, \dots, n$

1.3 古典概型与伯努利概型

1.3.1 古典型概率

1.3.2 几何形概率

1.3.3 n重伯努利实验

二项式概率公式

$C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}$

1.4 例题，错题

考点	问题	解答
	$A B = \overline{A} \overline{B}, (A) . A B = \emptyset, A \cup B = Ω, (B) . A B = \emptyset, A \cup B \neq = Ω (C) . A B \neq = \emptyset, A \cup B = Ω, (D) . A B \neq = \emptyset, A \cup B = Ω$	$答案是 A, AA B = A \overline{A} \overline{B}, AA B = \emptyset, A B = \emptyset, \overline{A B} = \emptyset, \overline{\overline{A} \overline{B}} = \overline{\emptyset}, A \cup B = Ω P (\overline{A B}) \neq = P (\overline{A} \overline{B}), 当两者相等时 A, B 为对立事件$
	$(A - B) \cup (B - C) 等于事件 (A) . A - C, (B) . A \cup (B - C) (C) . (A \cup B) - C, (D) . (A \cup B) - BC$	$D ，画图$
	$P (A) = P (B) = \frac{1}{2}, P (A \cup B) = 1. 必有 (A) . A \cup B = Ω, (B) . A B = \emptyset, (C) . P (\overline{A} \cup \overline{B}) = 1, (D) . P (A - B) = 0$	$C$
	$AC=\varnothing,P(AB)=\frac{1}{2},P(C)=\frac{1}{3},则P(AB	\overline{C})=$
	$10 件产品中， 4 件次品， 6 件正品，从中取出两件，已知其中有一件次品，则另一件也是次品的概率$	$\frac{1}{5}$

第二章随机变量及其概率分布

2.1 随机变量及其分布函数

1）随机变量

$在样本空间 Ω 上的实值函数 X = X (w), w \in Ω, 称 X (w) 为随机变量，记做 X X (w) 的定义域是 Ω, 常用 X, Y, Z 等表示随机变量$

2）分布函数

$对于任意实数 x, 记做函数 F (x) = P {X \leq x}, - \infty \leq x \leq + \infty, 称 F (x) 为随机变量 X 的分布函数分布函数 F (x) 是定义在 (- \infty, + \infty) 上的一个数值，称 F (x) 的值等于随机变量 X 在区间 (- \infty, x] 内取值的概率，即实践 X \leq x 的概率论$

3）分布函数性质


$0 \leq F (x) \leq 1, lim_{x \to - \infty} F (x) = 0, 记为 F (- \infty) = 0, lim_{x \to \infty} = 1, 记为 F (+ \infty) = 1$
$F (x) 是单调非减函数，即当 x_{1} < x_{2} 时， F (x_{1}) \leq F (x_{2})$
$F (x) 是右连续的，即 F (x + 0) = f (x)$
$对于任意 x_{1} < x_{2}, 有 F (x_{1} < X \leq x_{2}) = F (x_{2}) - F (x_{1})$
$对任意的 x, P (X = x) = F (x) - F (x - 0)$
$当 F (x) 在 x 处连续时， F (x) - F (x - 0) = 0 ， P (X = x) = 0$

2.2 离散型随机变量和连续性随机变量

1) 离散型随机变量

如果一个随机变量的可能值是有限个多个或者无穷多个，则称它为离散型随机变量

2) 离散型随机变量X的概率论

$设离散型随机变量 X 的可能值是 x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, X ，取各种可能值的概率论为 P (X = x_{k}) = p_{k}, k = 1, 2, \dots$

分布律也用列表方式

X P x_{1} p_{1} x_{2} p_{2} x_{3} p_{3} \dots \dots x_{n} p_{n}

3) 连续型随机变量及其概率

$如果对随机变量 X 的分布函数 F (x), 存在一个非负可积函数 f (x), 使得对任意实数 x, 都有 F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t, - \infty < x < + \infty 称为 X 为连续型随机变量，函数 f (x) 称为 X 的概率论$

4) 分布律性质

p_{k} \geq 0, k = 1, 2, 3, \dots k = 1 \sum + \infty p_{k} = 1

5) 概率论f(x)性质

f (x) > 0 \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1 对任意实数 x_{1} < x_{2}, 有 P {x_{1} < X \leq x_{2}} = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f (t) d t 在 f (x) 的连续点处有 F^{'} (x) = f (x) 如果 X 是连续型随机变量，则显然有 P {x_{1} < X \leq x_{2}} = P {x_{1} \leq X \leq x_{2}}

2.3 常用分布

分布名称	概念	符号表示	期望	方差
0-1分布	$分布律 X P 0 1 - p 1 p$		$p$	$p (1 - p)$
二项分布	$P {X = k} = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}, k = 0, 1, 2$	$X \sim B (n, p)$	$n p$	$n p (1 - p)$
超几何分布	$N 件参评， M 件次品 P {X = k} = \frac{C _{M}^{k} C _{N - M}^{n - k}}{C _{N}^{n}}$	$X \sim B (n, \frac{M}{N})$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1 - p}{p ^{2}}$
泊松分布	$P {X = k} = \frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ}$	$X \sim P (λ)$	$λ$	$λ$
均匀分布	$f (x) = {\frac{1}{b - a}, a \leq x \leq b 0, 其他$	$X \sim U [a, b]$	$\frac{a + b}{2}$	$\frac{( b - a ) ^{2}}{12}$
指数分布	$f (X) = {λ e^{- λ x}, x > 0 0, x \leq 0$	$X \sim E (λ)$	$\frac{1}{λ}$	$\frac{1}{λ ^{2}}$
正态分布	$f (x) = \frac{1}{2 π σ} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}$	$X \sim N (μ, σ^{2})$	$μ$	$σ^{2}$
标准正态分布	$f (x) = \frac{1}{2 π} e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$	$X \sim N (0, 1)$

性质


正态分布	$F (x) = Φ (\frac{x - μ}{σ})$
	$P {a < x \leq b} = Φ (\frac{b - μ}{σ}) - Φ (\frac{a - μ}{σ}), a < b$
	$概率密度 f (x) 关于 x = μ 对称， φ (x) 是偶函数$
	$ϕ (- x) = 1 - ϕ (x), ϕ (0) = \frac{1}{2}$
	$X\sim N(0,1),有P{
指数分布	$P {X > t} = \int_{t}^{+ \infty} λ e^{- λ t} = e^{- λ t}, t > 0$

泊松定理	$是在伯努利实验中， p_{n} 代表实验中的概率， lim_{n \to \infty} n p_{n} = λ k 表示实验次数$

2.4 随机变量函数的分布

2.4.1 离散型随机变量的函数分布

$设 X 的分布律为 P {X = x_{k}} = p_{k}, k = 1, 2, 3, 则 Y = g (X) 的分布律为 P {Y = g (x_{k})} = p_{k}, 1, 2, 3. 在 g (x_{k}) 有相同的数值，则他们的概率也是一样$

2.4.2 连续型随机变量的分布⭐

先求 Y 的分布函数 F_{Y (y)} = P {Y \leq y} = P {g (X) \leq y} = \int_{g (x) \leq y} f_{X} (X) d x

假设随机变量 X 服从参数 2 的指数分布，证明随机变量 Y = 1 - e^{- 2 X} 在区间 [0, 1] 上服从均匀分布 证明：变量 X 的分布函数 F_{x} (X) = {1 - e^{- 2 X}, X > 0, 0, x \leq 0 当 x > 0 时， 0 < Y = 1 - e^{- 2 x} < 1 当 x < 0 时， Y < 0 所以 F_{y} (Y) = F_{x} (- \frac{1}{2} l n (1 - y)) = 1 - (1 - y) = y F_{Y} (y) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, y \leq 0, y, 0 < y < 1 1, y > 1 ，所以服从均匀分布

2.5 例题，错题

	X-分布函数	X-离散型	X-连续型
定义	$F (x) = P {X \leq x}$	$P {X = x_{n}}$	$F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t$
充要条件	$F (x) 单调不减函数 F (- \infty) = 0, F (+ \infty) = 1 右连$	$p_{n} \geq 0 \sum_{n} p_{n} = 1$	$f (x) \geq 0 \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1$
			$P {x_{1} < X \leq x_{2}} = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f (t) f t$

第三章多维随机变量及其分布

3.1 二维随机变量以及分布

	二维随机变量分布	二维离散型随机变量分布
概念	$设 X = X (w), Y = Y (w), 是定义在样本空间 Ω, 上的两个随机变量，称向量 (X, Y) 为二维随机变量，或随机变量$	$如果随机变量 (X, Y) 可能取值为有限个或无穷个 (x_{i}, y_{i}), i . j = 1, 2, 3 \dots, 则称 (X, Y) 为二维随机离散型随机变量$
分布	$F (x, y) = P {X \leq x, Y \leq y}, - \infty < x < + \infty$	$二维离散型随机变量 (X, Y) 的可能取值为 (x_{i}, y_{i}) (i, j = 1, 2, 3, \dots) 称 P {X = x_{i}, Y = y_{i}} = p_{ij}, i, j = 1, 2, 3, \dots$
边缘分布	$二维随机变量 (X, Y) 的分布函数为 F (x, y) ，分别称 F_{X} (x) = P {X \leq x} 和 F_{Y} (y) = P {Y \leq y} F (x, + \infty) = lim_{y \to + \infty} F (x, y)$	$p_{i \cdot} = P {X = x_{i}} = \sum_{j = 1}^{+ \infty} P (X = x_{i}, Y = y_{j}) = \sum_{j = 1}^{+ \infty} p_{ij}, j = 1, 2, \dots$
条件分布	$l i m_{ϵ \to 0^{+}} P {X \leq x ∣ y - ϵ < Y \leq y + ϵ} = l i m_{ϵ \to o^{+}} \frac{P { X \leq x , y - ϵ < Y \leq y + ϵ }}{P { y - ϵ < Y \leq y + ϵ }}$	$P {X = x_{i} ∣ Y = y_{i}} = \frac{P { X = x _{i} , Y = y _{i} }}{P { Y = y _{i} }}$
边缘及其密度	$F_{X} (x) = F (x, + \infty) = \int_{- \infty}^{x} [\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d y] d x$
边缘密度	$f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d y 和 f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{+ \infty} d x$
条件密度	$F_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \int_{- \infty}^{x} \frac{f ( s , y )}{f _{Y} ( y )} d s$

F(x,y)的性质

对于任意的 x, y, 0 \leq F (x, y) \leq 1 F (- \infty, y) = F (x, - \infty) = F (- \infty, + \infty) = 0 F (x, y) 关于 x 和关于 y 均单调不减 F (x, y) 关于 x 和关于 y 是右连续 P {a < X \leq b, c < Y \leq d} = F (b, d) - F (b, c) - F (a, d) + F (a, c)

P{X=x_i,Y=y_i}=p的特性

p_{ij} \geq 0 i \sum j \sum p_{ij} = 1

f(x,y)的特性

f (x, y) \geq 0 \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d x d y = 1

3.2 随机变量的独立性

3.2.1 独立性

如果对任意 x, y ，都有 P {X \leq x, Y \leq y} = P {X \leq x} P {Y \leq y} F (x, y) = F_{X} (x) F_{Y} (y)

3.2.2 相互独立充要条件

离散型随机分布 X 和 Y 相互独立的充要条件，对任意 i, j = 1, 2, \dots, P {X = x_{i}, Y = y_{i}} = P {X = x_{i}} P {Y = y_{i}} p_{ij} = p_{i \cdot} p_{\cdot j} 连续型随机变量 X, 和 Y 相互独立的充要条件，对于任意 x, y 成立 f (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

3.3 二维均匀分布和二维正态分布

3.3.1 二维均匀分布

概率密度为 f (x, y) = {\frac{1}{A}, (x, y) \in G 0, 其他

3.3.2 二维正态分布

f (x, y) = \frac{1}{2 π σ _{1} σ _{2} 1 - ρ ^{2}} e^{- \frac{1}{2 ( 1 - ρ ^{2} )} [\frac{( x - μ _{1} ) ^{2}}{σ _{1}^{2}} - \frac{2 ρ ( x - μ _{1} ) ( y - μ _{2} )}{σ _{1} σ _{2}} + \frac{( y - μ _{2} ) ^{2}}{σ _{2}^{2}}]} 记做 (X, Y) \sim N (μ_{1}, μ_{2}; σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}, ρ)

3.3.3 重要性质

3.4 二维随机变量函数Z=g(X,Y)分布

3.4.1 X,Y都是离散型随机变量

3.4.2 X,Y都是连续型随机变量

3.4.3 X 为离散型随机变量。Y是连续型随机变量

3.5 例题


$S \sim U (0, 1), 在 X = x (0 < x < 1) 条件下 Y 在 (0, x) 上服从均匀分布求 (X, Y) \sim f (x, y) f_{Y} (y) P {X + Y > 1}$

第四章随机变量的数字特征

4.1 随机变量的数学期望

4.1.1 数学期望

定义

离散型随机变量的数学期望，如果级数 k = 1 \sum + \infty x_{k} p_{k} 绝对收敛，则称此级数为随机变量 X 的数学期望，记做 E (X) 连续型随机变量的数学期望，设随机变量 X 的概率密度为 f (x), E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x

性质


$设 C 是常数，则 E (C) = C$
$设 X 是随机变量， C 是常数，则有 E (CX) = CE (X)$
$设 X 和 Y 是任意两个随机变量，则有 E (X \pm Y) = E (X) \pm E (Y)$
$设随机变量 X 和 Y 相互独立， E (X Y) = E (X) E (Y)$

4.1.2 方差

定义

设 X 是随机变量，如果数学期望 E {[X - E (x)]^{2}} 存在，则称之为 X 的方差，记做 D (X) = E {[X - E (X)]^{2}}

计算公式

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

性质


$设 X 是随机变量， a 和 b 是常数，则有 D (a X + b) = a^{2} D (X)$
$设随机变量 X 和 Y 相互相互，则有 D (X \pm Y) = D (X) + D (Y)$

常见的方差和期望

分布名称	概念	符号表示	期望	方差
0-1分布	$分布律 X P 0 1 - p 1 p$		$p$	$p (1 - p)$
二项分布	$P {X = k} = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}, k = 0, 1, 2$	$X \sim B (n, p)$	$n p$	$n p (1 - p)$
超几何分布	$N 件参评， M 件次品 P {X = k} = \frac{C _{M}^{k} C _{N - M}^{n - k}}{C _{N}^{n}}$	$X \sim B (n, \frac{M}{N})$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1 - p}{p ^{2}}$
泊松分布	$P {X = k} = \frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ}$	$X \sim P (λ)$	$λ$	$λ$
均匀分布	$f (x) = {\frac{1}{b - a}, a \leq x \leq b 0, 其他$	$X \sim U [a, b]$	$\frac{a + b}{2}$	$\frac{( b - a ) ^{2}}{12}$
指数分布	$f (X) = {λ e^{- λ x}, x > 0 0, x \leq 0$	$X \sim E (λ)$	$\frac{1}{λ}$	$\frac{1}{λ ^{2}}$
正态分布	$f (x) = \frac{1}{2 π σ} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}$	$X \sim N (μ, σ^{2})$	$μ$	$σ^{2}$
标准正态分布	$f (x) = \frac{1}{2 π} e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$	$X \sim N (0, 1)$

4.2 矩，协方差和相关系数

4.2.1 矩

4.2.2 协方差

对于随机变量 X 和 Y, 如果 E {[X - E (x)] [Y - E (Y)]} 都存在 C o v (X, Y) = E {[X - E (X)]} E {[Y - E (Y)]}

4.2.3 相关系数

ρ_{x y} = \frac{C o v ( X , Y )}{D ( X ) D ( Y )}

4.2.4 性质


$C o v (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$
$D (X \pm Y) = D (X) + D (Y) \pm 2 C o v (X, Y)$
$C o v (X, Y) = C o v (Y, X)$
$C o v (a X, bY) = ab C o v (X, Y)$
$C o v (X_{1} + X_{2}, Y) = C o v (X_{1}, Y) + C o v (X_{2}, Y)$

第五章大数定律和中心极限定理


切比雪夫定律	$P {∣ X - E (X) ∣\geq ε} \leq \frac{D ( X )}{ε ^{2}}$
依概率收敛	$l i m_{n \to + \infty} P {∣ X_{n} - A ∣< ε} = 1$
切比雪夫大数定律	$l i m_{n \to \infty} P {∣ \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - \frac{1}{n} \sum_{i = 1} n E (X_{i}) ∣} < ε$
辛钦大数定律	$l i m_{n \to \infty} P {∣ \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - μ ∣< ε} = 1$
	$lim_{n \to \infty} P {\frac{X _{n} - n p}{n p ( 1 - p )} \leq x} = θ (X)$

第六章数理统计的基本概念

6.1 总体，样本

6.1.1 总体

数理统计中所研究对象的某项数量指标X的全体称为总体

6.1.2 样本

如果 X_{1}, X_{2} ， X_{n} 相互独立且都与总体 X 同分布则称 X_{1}, X_{2} ， X_{n} 来自总体 X 的简单随机样本，简称为样本， n 为样本总量 . 样本的具体观察值 x_{1}, x_{2}, x_{n} 称为样本值，称总体 X 的 n 个独立观察值

6.1.3 统计量

样本 X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} 的不含未知参数的函数 T = T (X_{1}, X_{2}, X_{n}) 称之为统计量

6.1.4 数字特征


$样本均值 X = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$
$样本方差 S^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X - \overline{X})^{2}$
$样本 k 阶原点矩 A_{k} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{k}, k = 1, 2,$

6.1.5 样本特征的性质


$如果总体 X 具有数学期望 E (X) = μ, E (\overline{X}) = E (X) = μ$
$如果总体 X 具有方差 D (X) = σ^{2}, D (\overline{X}) = \frac{1}{n} D (X) = \frac{σ ^{2}}{n}, E (S^{2}) = D (X) = σ^{2}$
$如果总体 X 的 k 阶原点矩 E (X^{k}) = μ_{k}, k = 1, 2, 3 \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{k} \to μ_{k}$

概率论

# 概率论

# 第一章 随机事件和概率

# 1.1 事件，样本空间，事件间的关系与运算

# 1.1.1 随机试验

# 1.1.2 样本空间

# 1.1.3 随机事件

# 1.1.4 事件的包含

# 1.1.5 事件的相等

# 1.1.6 事件的交

# 1.1.7 互斥事件

# 1.1.8 事件的并

# 1.1.9 对立事件

# 1.1.10 事件运算规律

# 1.2 概率，条件概率，独立性

# 1.2.1 概率公理

# 1.2.2 条件概率

# 1.2.3 事件的独立性

# 1.2.4 概率的性质

# 1.2.5 相互独立的性质

# 1.2.6 五大公式

# 加法公式

# 减法公式

# 乘法公式

# 全概率公式

# 贝叶斯公式

# 1.3 古典概型与伯努利概型

# 1.3.1 古典型概率

# 1.3.2 几何形概率

# 1.3.3 n重伯努利实验

# 1.4 例题，错题

# 第二章 随机变量及其概率分布

# 2.1 随机变量及其分布函数

# 1） 随机变量

# 2）分布函数

# 3）分布函数性质

# 2.2 离散型随机变量和连续性随机变量

# 1) 离散型随机变量

# 2) 离散型随机变量X的概率论

# 3) 连续型随机变量及其概率

# 4) 分布律性质

# 5) 概率论f(x)性质

# 2.3 常用分布

# 2.4 随机变量函数的分布

# 2.4.1 离散型随机变量的函数分布

# 2.4.2 连续型随机变量的分布⭐

# 2.5 例题，错题

# 第三章 多维随机变量及其分布

# 3.1 二维随机变量以及分布

# F(x,y)的性质

# P{X=x_i,Y=y_i}=p的特性

# f(x,y)的特性

# 3.2 随机变量的独立性

# 3.2.1 独立性

# 3.2.2 相互独立充要条件

# 3.3 二维均匀分布和二维正态分布

# 3.3.1 二维均匀分布

# 3.3.2 二维正态分布

# 3.3.3 重要性质

# 3.4 二维随机变量函数Z=g(X,Y)分布

# 3.4.1 X,Y都是离散型随机变量

# 3.4.2 X,Y都是连续型随机变量

# 3.4.3 X 为离散型随机变量。Y是连续型随机变量

# 3.5 例题

# 第四章 随机变量的数字特征

# 4.1 随机变量的数学期望

# 4.1.1 数学期望

# 定义

# 性质

# 4.1.2 方差