文章链接

https://gitee.com/fakerlove/math

第一章 函数，连续，极限

1.1 函数

概念和常见的函数

常见函数分类

• 符号函数
• 取整函数
• 隐函数
• 分段函数
• 基本初等函数
  • 常值函数
  • 幂函数
  • 三角函数
  • 指数函数
  • 对数函数
  • 反三角函数

性质

• 周期性
• 单调性
• 奇偶性
• 有界性

1.2 极限

数列极限

$$定义\underset{\Delta x\to \infty }{\lim }=A$$

$$\forall ϵ>0,\exists N>0,当n>N时，恒有|X_n-A|<ϵ$$

函数极限

$$定义\underset{\Delta x\to \infty }{\lim }f(x)=A$$

$$\forall ϵ>0,\exists N，当n>N时，恒有|f(n)-A|<ϵ$$

性质

• 有界性
• 保号性${\lim }_{\Delta x\to \infty }f(x)=A如果A>0,那么\exists N>0,当n>N时，f(n)>0$$

易错问题

• 分段函数的左极限和右极限
• $e^{\infty }型的极限$
• $arctan(\infty )型极限arctan(x{)}_{x\to +\infty }=\frac{\pi }{2}$

极限和无穷小的关系

• 概念
• 无穷小的比较
  • 高阶$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0$
  • 低阶$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\infty$
  • 同阶$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=A;A\ne 0$
  • 等价$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1$
• 性质
  • 有限个无穷小量依旧是无穷小
  • 有限个无穷小量的积依旧是无穷小
  • 有界变量乘以无穷小依旧是无穷小

极限存在准则

• 夹逼准则

  一般用在n项和 的地方

• 单调有界准则

  单调增，有上界必有极限

  单调减，有下界必有极限

求极限方法8种

• 利用基本极限求极限

${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{sinx}{x}=1$ ${\lim }_{\Delta x\to 0}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$ ${\lim }_{\Delta x\to \infty }\sqrt[n]{n}=1$

• 利用等阶无穷小代换求极限

  原式	无穷小
  $e^x-1,tanx,sinx,arcsinx,arctanx$	$x$
  $1-cosx$	$\frac{1}{2}{x}^2$
  $1-co{s}^{\alpha }x$	$\frac{\alpha }{2}{x}^2$
  $(1+\beta x{)}^{\alpha }-1$	$\alpha \beta x$
  ${\log }_a(1+x)-1$	$\frac{x}{lna}$
  $tanx-x$	$\frac{1}{3}{x}^3$
  $ x-ln(1+x)$	$\frac{1}{2}{x}^2$
  $x-sinx$	$\frac{x^3}{6}$

• 利用有理运算法则求极限

• 利用洛必达求极限

• 利用泰勒公式求极限

  常见的泰勒展开式(拉格朗日余项)

  原式	展开式
  $\frac{1}{1-x}$	$$\begin{gathered} =1+x+x^2+x^3+x^n+\dots \dots \\ ={\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n \end{gathered}$$
  $e^x$	$$\begin{gathered} =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ \\ ={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!} \end{gathered}$$
  $cosx$	$$\begin{gathered} =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6} \\ ={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{gathered}$$
  $sinx$	$$\begin{gathered} =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!} \\ ={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1{)}^n} \end{gathered}$$
  $ln(1+x)$	$$\begin{gathered} =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4} \\ ={\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^n}{n} \end{gathered}$$
  $tanx$	$x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
  $arctanx$	$x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^5)$
  $(1+x{)}^{\alpha }$	$1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\dots \dots +\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -n+1)}{n!}{x}^n$

• 利用夹逼准则求极限

• 利用单调有界准则求极限

• 利用定积分求极限

1.3 连续

定义

$$若\underset{\Delta x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)则称y=f(x)在点x_0处连续$$

间断点

• 定义

$$若f(x)在x_0某去心领域有定义，但在x_0处不连续，则称x_0为f(x)的间断点$$

• 分类

  • 第一类间断点：左右极限均存在

    可去间断点：左极限=右极限

    跳跃间断点：左极限 不等于 右极限

  • 第二类间断点 左右极限至少有一个不存在

    无穷间断点

    震荡间断点

运算和性质

• 零点定理
• 介值定理

第二章 导数

2.1 导数和微分概念

导数定义

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x）-f(x_0)}{\Delta x}$$

微分定义

$$\begin{gathered} 如果\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)可以表示为\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)(\Delta \to 0) \\ 则称函数f(x)在点x_0处可微称A\Delta x为微分，记为dy=A\Delta x \end{gathered}$$

定理二

$$\begin{gathered} 函数y=f(x)在点x_0处可微的充分必要条件是f(x_0)在点x_0处可导，且有 \\ dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x=f^{\prime }(x_0)dx \end{gathered}$$

几何意义

• 斜率

• 切线方程

• 法线方程

连续，可导，可微关系

$可导\iff 可微$

$可导\Rightarrow 连续$

$可微\Rightarrow 连续$

一阶可导 推不出 一阶导函数连续

一阶可导 推不出 一阶极限存在

2. 2 导数公式和求导法则

基本初等函数的导数

原函数	导数
$sinx$	$cosx$
$x^{\alpha }$	$\alpha x^{\alpha -1}$
$a^x$	$a^{x}lna$
$e^x$	$e^x$
${\log }_{a}x$	$\frac{1}{xlna}$
$\ln \mid x\mid$	$\frac{1}{x}$
$cosx$	$-sinx$
$tanx$	$=\frac{1}{co{s}^{2}x}=se{c}^{2}x$
$\frac{1}{tanx}=cotx$	$-\frac{1}{si{n}^{2}x}=-cs{c}^{2}x$
$secx=\frac{1}{cosx}$	$secxtanx=\frac{sinx}{co{s}^{2}x}$
$cscx$	$-cscxcotx$
$arcsinx$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$arccosx$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$arctanx$	$\frac{1}{1+x^2}$
$arccotx$	$-\frac{1}{1+x^2}$

求导法则

• 有理运算法则

$(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{p}rime$

$\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

• 复合函数求导法

• 隐函数求导

$F(x,y)=0\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$

• 反函数求导

${\phi }^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$

• 参数方程

$$\begin{gathered} y=y(x)是由\{\begin{array}{l}x=\varphi (x)\\ y=\phi (x)\end{array},(\alpha <t<\beta )确定的函数， \\ 则\frac{dy}{dx}=\frac{{\phi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)} \end{gathered}$$

• 对数求导法

  一般应用成幂指函数

规律

$设f(x)可导$

$f(x)是奇函数，则f^{\prime }(x)是偶函数$

$f(x)是偶函数，则f^{\prime }(x)是奇函数$

$f(x)是周期函数，则f^{\prime }(x)也是周期函数$

2.3 高阶导数

$(sinx{)}^{(n)}=sin(x+n\frac{\pi }{2})$

$(u+v{)}^{(n)}=u^{(n)}+v^{(n)}$

$(uv{)}^{(n)}={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(k)}{v}^{(n-k)}$

求n 阶导数

• 公式
• 归纳
• 泰勒公式

2.4 相关性

2.5 常见题型

• 导数的定义
• 复合函数，隐函数，参数方程求导
• 高阶导数
• 导数的应用

第三章 微分中值定理及导数应用

3.1 微分中值定理

费马定理

$如果函数f(x)在x_0处可导，且在x_0处取得极值,那么f^{\prime }(x_0)=0$

罗尔定理

$若f(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则\exists \xi \in (a,b),f^{\prime }(\xi )=0$

拉格朗日定理

$设f(x)在闭区间[a,b]内上连续，在开区间(a,b)上可导，则至少存在一点\xi \in (a,b)使得f(b)-f(a)=f(\xi )(b-a)$

柯西中值定理

$设f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g^{\prime }(x)\ne 0,x\in (a,b),至少存在一点\xi \in (a,b),使得\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

皮亚诺余项泰勒公式(局部)

• 极限

• 极值

• 麦克劳林公式

拉格朗日余项泰勒公式(整体)

• 不等式
• 最值

3.2 导数的应用

单调性

$f^{\prime }(x)>0f(x)递增$

$f^{\prime }(x)<0f(x)递减$

极值点

驻点

一阶导数为零。

$f^{\prime }(x)=0$

最值

曲线的凹凸性

拐点

使函数凹凸性改变的点。

二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。

$f^{\prime \prime }(x)<0凸函数$

$f^{\prime \prime }(x)>0凹函数$

渐进线

• 水平渐进线，最多两条

${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$

• 垂直渐近线，无穷多条

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$

• 斜渐近线

$$\begin{gathered} {\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x}=a \\ b={\lim }_{x\to \infty }f(x)-ax \\ y=ax+bs是y=f(x)的渐近线 \end{gathered}$$

曲率

• 参数方程

  $$K(t)=\frac{\mid x^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t)-x^{\prime \prime }{y}^{\prime }(t)\mid }{{\left((x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}$$

• 直角坐标系

  $$K=\frac{\mid y^{\prime \prime }\mid }{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$$

• 空间参数曲线 的曲率

  

  3.3 题型

• 求极限

• 函数的极值和最值，曲线的凹向和拐点

• 曲线的渐近线

• 方程的根

• 不等式的证明

• 中值定理的证明题

第四章 不定积分

4.1 不定积分概念

$\int f(x)d(x)=F(x)+C$

• 定理

$若f(x)在区间I上连续，在则f(x)在区间I上一定存在原函数$

$若f(x)在区间I上有第一类间断点，在则f(x)在区间I上一定不存在原函数$

4.2 基本公式

积分	原函数
$\int \frac{1}{cosx}dx$	$\ln \mid secx+tanx\mid +C$
$\int cosxdx$	$sinx+C$
$\int \frac{1}{sinx}dx$	$\ln \mid tan\frac{x}{2}\mid +C$
$\int \alpha x^{\alpha -1}dx$	$x^{\alpha }+C$
$\int a^{x}lnadx$	$a^x+C$
$\int e^{x}dx$	$e^x+C$
$\int \frac{1}{xlna}dx$	${\log }_{a}x+C$
$\int \frac{1}{x}dx$	$\ln \mid x\mid +C$
$\int -sinxdx$	$cosx+C$
$\int se{c}^{2}xdx$	$tanx+C$
$\int -cs{c}^{2}xdx$	$\frac{1}{tanx}=cotx+C$
$\int secxtanxdx$	$secx=\frac{1}{cosx}$
$\int -cscxcotxdx$	$cscx+C$
$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$	$arcsinx+C$
$\int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$	$arccosx+C$
$\int \frac{1}{1+x^2}dx$	$arctanx+C$
$\int -\frac{1}{1+x^2}dx$	$arccotx+C$
$\int \frac{dx}{a^2+x^2}$	$\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C$
$\int \frac{dx}{x^2-a^2}$	$\frac{1}{2a}ln\mid \frac{x-a}{x+a}\mid +C$
$\int \frac{dx}{a2-x2} $	$\frac{1}{2a}ln\mid \frac{a+x}{a-x}\mid +C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$	$arcsin\frac{x}{a}+C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$	$ln(x+\sqrt{x^2\pm a^2})+C$
${\int }_0^{\infty }=x^n{e}^{-x}dx$	$n!$
${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx$	$\sqrt{\pi }$

4.3 三种积分方法

1. 第一类换元法(凑微分)

$\int f(u)du=F(u)+C$

• 例题

$\int \frac{2-x}{\sqrt{3+2x-x^2}}dx$

2. 分部积分

$\int udv=uv-\int vdu$

适用于两类不同函数相乘，反对幂指三

3. 第二类换元法

$$\begin{gathered} 设x=\varphi (x)是单调的，可导的函数，并且{\varphi }^{\prime }(t)\ne 0,又\int f[\varphi (t)]{\varphi }^{\prime }(t)dt=F(t)+C \\ 则\int f(x)dx=\int f[\varphi (t)]{\varphi }^{\prime }(t)dt=F(t)+C \end{gathered}$$

• $\sqrt{a^2-x^2}$ $x=asint$
• $\sqrt{a^2+x^2}$ $x=atant$
• $\sqrt{x^2-a^2}$ $x=asect$

4.4 三种常见可积函数的积分

1. 有理函数的积分

$\int R(x)dx$ ，一定能被积出来

• 一般法，部分分式法

$\int \frac{x+5}{x^2-6x+13}dx$

$\int \frac{dx}{x(x^9+1)}$

2. 三角有理式积分

$\int R(sinx,cosx)dx$

• 一般法，万公式$tan\frac{x}{2}=t$
• 特殊法，三角换元，分部

3. 简单无理数积分

4. 图片解析

函数	图像
$sin\frac{1}{x}$
$\frac{sinx}{x}$
$\frac{1}{x}sin\frac{1}{x}$
$\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}渐近线有垂直还有其他的$
$\frac{x}{sinx}$

第五章 定积分和反常积分

5.1 定积分

题型

• 定积分概念，性质和几何意义
• 变上限定积分
• 定积分的计算

概念性质

• 定积分存在的充分条件

$f(x)在[a,b]上连续，则f(x)可积$

$f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点,则f(x)可积$

$f(x)在[a,b]上仅有有限个第一类间断点，则f(x)可积$

• 不等式

$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$

• 中值定理

$$\begin{gathered} f(x)函数可积，函数一定有定积分,F(x)连续有界 \\ f(x)在x=x_0处连续，则\mid f(x)\mid 在x=x_0处连续 \end{gathered}$$

积分上限函数

$设f(x)在[a,b]上连续，则{\int }_a^{x}f(t)dt在[a,b]上可导且{\left({\int }_a^{x}f(t)dt\right)}^{\prime }=f(x)$

$$\begin{gathered} {\left({\int }_{e^x}^{x^2}f(t)dt\right)}^{\prime }= \\ {\left({\int }_{e^x}^{0}f(t)dt+{\int }_0^{x^2}f(t)dt\right)}^{\prime } \end{gathered}$$

$总结:\left({\int }_{\phi (x)}^{\varphi (x)}f(t)dt=f(\varphi (x){\varphi }^{\prime }(x)-f(\phi (x)){\varphi }^{\prime }(x)\right)$

例题

${\int }_0^x(x-t)f(t)dt$

${\int }_1^{2}f(x+t)dt$

定积分的计算

• 牛顿-莱布尼兹公式

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(a)-F(b)$

• 换元法

• 分布积分法

• 利用周期性，奇偶性

• 利用公式

  名称
  华莱士公式	$I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}co{s}^{n}xdx=\{\begin{array}{l}\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\dots \dots \frac{1}{2}\frac{1}{2}\pi (n为偶数)\\ \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\dots \dots \frac{4}{5}\frac{2}{3}(n为大于1的奇数)\end{array}$
  伽马公式	$\Gamma (x)={\int }_0^{\infty }{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$ $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$ $\Gamma (n+1)=n!$ $\Gamma (1)=1\Gamma (\frac{1}{2}=\sqrt{\pi })$
  	${\int }_0^{\pi }xf(sinx)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(sinx)dx$

可爱因子

${\lim }_{n\to \infty }(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots \dots \dots \frac{1}{n+n})=$

• 先提$\frac{1}{n}$

• 然后看${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_i^{\infty }f({\xi }_i)$

• $f({\xi }_i)就是积分$

• 此题就是${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}\left[\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n}}+\frac{1}{1+\frac{3}{n}}+\dots \dots \frac{1}{1+\frac{n}{n}}\right]$

$={\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx$

看变化部分

$n\to \infty 时，\frac{变化}{主体}=0就用夹逼定理$

$n\to \infty 时，\frac{变化}{主体}=A\ne 0就用定积分$

5.2 反常积分

无穷区间上的积分

${\int }_a^{+\infty }={\lim }_{t\to +\infty }{\int }_a^{t}f(x)dx$

${\int }_{-\infty }^b={\lim }_{t\to -\infty }{\int }_t^{b}f(x)dx$

常用结论

$${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^P}dx;\{\begin{array}{l}P>1收敛\\ p\le 1发散\end{array}$$

无界函数的反常积分

$设a为f(x)的无界点，{\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{t\to a^{+}}{\int }_t^{b}f(x)dx$

常用结论

$${\int }_a^b\frac{1}{(x-a{)}^P}dx;\{\begin{array}{l}P<1收敛\\ p\ge 1发散\end{array}$$

题型

• 反常积分的敛散性
• 反常积分的计算

第六章 定积分应用

6.1 几何应用

平面图形的面积

• 坐标系

${\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$

• 极坐标

$\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{\rho }^2(\theta )d\theta$

旋转体体积

• 绕x轴转

$V_x=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$

如果是参数方程 直接往里面带

• 绕y轴转

$V_y=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx$

• 万能公式

$$V=2\pi {\iint }_{D}r(x,y)d\sigma$$

曲线弧长

• 坐标系

$s={\int }_a^b\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$

• 参数方程

$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dt$

• 极坐标

$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\rho }^2+{\rho }^{\prime 2}}d\theta$

旋转体侧面积

$$S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}dx$$

6.2 物理应用

压力

变力做功

引力

第七章 微分方程

7.1 常微分方程的基本概念

• 微分方程
• 微分方程的阶
• 微分方程的解
• 微分方程的通解
• 微分方程的特解

7.2 一阶微分方程

• 可分离变量的方程

  $y^{\prime }=f(x)f(y)$

• 齐次方程

  $\frac{dy}{dx}=\phi (\frac{y}{x})$

  $$\begin{gathered} 令\frac{y}{x}=u \\ u+x\frac{du}{dx}=\phi (u) \end{gathered}$$

• 线性方程

  $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$

$$通解y=e^{-\int p(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C\right]$$

• 伯努利方程

$$\begin{gathered} y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^{\alpha } \\ 令y^{1-\alpha =u} \end{gathered}$$

• 全微分方程

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

• 偏积分
• 凑微分
• 线积分

7.3 可降阶的高阶方程

• $y^{\prime \prime }=f(x)$

• $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$

  $$\begin{gathered} 令y^{\prime }=p \\ {y}^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx} \end{gathered}$$

• $y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$

  $令y^{\prime }=p,y^{\prime \prime }=P\frac{dP}{dy}$

7.4 高阶线性微分方程

齐次方程

$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$

通解为

$$如果y_1(x)和y_2(x)是齐次方程的两个线性无关的特解,那么Y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$$

非齐次方程

$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$

通解为

$$如果y^{\ast }为非齐次方程是一个特解，y_1(x)和y_2(x)是齐次方程的两个线性无关的特解,那么Y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+y^{\ast }(x)$$

常系数齐次线性微分方程

$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$

特征方程

$$\begin{gathered} r^2+pr+q=0 \\ r1,r2为特征方程的两个根 \end{gathered}$$

情况		解
共轭复根	$r_{1,2}=\alpha \pm i\beta$	$y=e^{\alpha x}(C_{1}cos(\beta x)+C_{2}sin(\beta x))$
相等根	$r_1\ne r_2$	$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
不相等根	$r_1=r_2=r$	$y=e^{rx}(C_1+C_{2}x)$

常系数非齐次线性微分方程

$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$

$f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$	$y^{\ast }=x^k{Q}_m(x)e^{\lambda x}$	$特征方程的根和没有\lambda 相同k=0$ 特$特征方程的根和没有\lambda 相同，但是只有一个;k=$1<br/>$特征方程的根和 有\lambda 相同,且有两个;k=2$
$f(x)=e^{\alpha x}[P_l^{(1)}(x)cos\beta x+P_n^{(2)}(x)sin\beta x]$	$y^{\ast }=x^k{e}^{\alpha x}[R_m^{(1)}(x)cos\beta x+R_m^{(2)}(x)sin\beta x]$	$m=maxl,n,k看共轭复根重复个数$

7.5 题型

• 微分方程求解
• 应用题
• 综合题

第八章 多元函数微分学

8.1 重极限，连续，偏导数，全微分

二元函数

二元函数的极限

• 取绝对值，然后夹逼准则

多元函数的连续性

• 概念

${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$

• 性质

  多元连续函数 和，差，积，商依旧是连续函数

  复合函数依旧为连续函数

  多元初等函数再其定义域内连续

• 计算二重极限

  • 极限性质

偏导数(不会)

• 定义

$f_x(x_0,y_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\frac{d}{dx}f(x,y_0){|}_{x=x_0}$

$f_y(x_0,y_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}=\frac{d}{dy}f(x_0,y){|}_{y=y_0}$

求导数，先带后求。求x在某处偏导数是否存在

$$\begin{gathered} 先带后求，f_x^{\prime }(x,0),在带x=0 \\ 直接先求导数f_x^{\prime },然后再带x=0,y=0,如果两个相等，说明偏导数\frac{\partial f}{\partial x}在(x_0,y)处连续 \end{gathered}$$

全微分

$若\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$

可微存在的必要条件

$$\begin{gathered} 如果z=f(x,y)在点(x_0,y_0)处可微，则在点(x_0,y_0)处\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}必定存在，且 \\ dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy \end{gathered}$$

可导可以推出两个偏导数都存在，

$$在f(x,y)在x_0,y_0处可微，\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}=0,\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}=0$$

• 用定义判定可微性

$f_x(x_0,y_0)与f_y(x_0,y_0)是否都存在$

${\lim }_{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}\frac{\Delta z-|f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y|}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}是否为零$

连续，可导，可微的关系

$如果z=f(x,y)的偏导数,\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}在点(x_0,y_0)处连续，则函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)处可微$

连续 推不出 偏导

偏导 推不出 连续

连续 推不出 可微

$可微\Rightarrow 偏导$

$可微\Rightarrow 连续$

题型

连续性，可导性，可微性

8.2 多元函数微分法

复合函数微分法

$$\begin{gathered} 设u=u(x,y),v=v(x,y)在点（x,y）处有对x及对y的偏导数， \\ 函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处连续偏导数， \\ 则z=f[u(x,y),z(x,y)]在点(x,y)处的两个偏导数存在，且有 \\ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}，\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} \end{gathered}$$

全微分不变性

$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$

隐函数微分法

$由方程F(x,y,z)=0，确定的隐函数z=z(x,y),$

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}$

$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}$

8.3 多元函数的极限和最值

无约束极值

$$\begin{gathered} 设z=f(x,y)在点（x_0,y_0)存在偏导数，且(x_0,y_0)为f(x,y)极值点，则 \\ {f}_x^{\prime }(x_0,y_0)=0,f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0, \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f_x^{\prime }(x_0,y_0)=0,f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0,这样子的点叫做驻点，极值点\Rightarrow 驻点， \\ 在某一段有界连续区间内，函数只有唯一的极值点，取得极值点的地方不一定是最大值或者是最小值。但是在一元函数上是成立的 \end{gathered}$$

求极值

$$\begin{gathered} 令f_x^{\prime }(x_0,y_0)=0,f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0, \\ 求出x,y的值 \\ 然后求A=f_{xx}^{\prime },B=f_{xy}^{\prime },C=f_{yy}^{\prime }, \\ AC-B^2>0,有极值，A>0有极小值，A<0有极大值 \\ AC-B^2<0,表示没有极值， \\ AC-B^2=0，有待进一步商讨 \end{gathered}$$

条件极值与拉格朗日乘法

$函数f(x,y)在条件\phi (x,y)=0条件下的极值$

拉格朗日函数

$$\begin{gathered} 令F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y) \\ \{\begin{array}{l}{F}_x=f_x^{\prime }(x,y)+\lambda {\phi }_x^{\prime }(x,y)=0\\ F_y=f_y^{\prime }(x,y)+\lambda {\phi }_y^{\prime }(x,y)=0\\ F_{\lambda }=\phi (x,y)=0\end{array} \end{gathered}$$

$函数f(x,y)在条件\phi (x,y)=0,\varphi (x,y,z)=0条件下的极值$

$令F(x,y,\lambda )=f(x,y,z)+\lambda \phi (x,y,z)+\mu \varphi (x,y,z)$

最大最小值

题型

• 求极值
• 求最大最小值
• 最大值和最小值应用题

8.4 伯努利方程

$$\begin{gathered} y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n \\ {y}^{-n}{y}^{\prime }+p(x)y^{1-n}=Q(x) \\ 令u=y^{1-n},方程就变成了 \\ \frac{1}{1-n}\frac{du}{dx}+p(x)u=Q(x),就可以进行微分方程的求解 \end{gathered}$$

8.5 欧拉方程

$$\begin{gathered} x^n{y}^{(n)}+p_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}++p_{n-1}x{y}^{\prime }+p_n=f(x) \\ 令x=e^t,t=lnx,\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x} \end{gathered}$$

第九章 二重积分

9.1 二重概念的概念与性质

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x_i,y_i)\Delta {\sigma }_i$$

9.2 二重积分计算

• 利用直角坐标系

  先y后x

  先x后y

• 利用极坐标

$先\rho 后\theta {\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{{\phi }_1(\theta )}^{{\phi }_2(\theta )}f(\rho cos\theta ,\rho sin\theta )\rho d\rho$

• 利用极坐标计算的被积函数

$f(\sqrt{x^2+y^2},f(\frac{y}{x}),f(\frac{x}{y})$

适合用极坐标的积分域，

$x^2+y^2\le R^2$

$r^2\le x^2+y^2\le R^2$

$x^2+y^2\le 2ax$

• 利用对称性和奇偶性计算若积分域D关于y 轴对称，则

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{l}2{\iint }_{D_x\ge 0}f(x,y)d\sigma ;f(-x,y)=f(x,y)\\ 0;f(-x,y)=-f(x,y)\end{array}$$

• 利用变量对称性计算

  若D 关于y=x 对称,则

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D}f(y,x)d\sigma$

9.3 题型

• 累次积分交换次序及计算
• 二重积分的计算

第十章 无穷级数

10.1 常数项级数

级数的概念与性质

• 概念

${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n=u_1+u_2+u_3+\dots \dots +u_n+\dots \dots$

$S_n={\sum }_{i=1}^n{u}_i={\lim }_{n\to \infty }{s}_n$

极限存在，就收敛

极限不存在，就发散

• 性质

$若{\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n收敛于s,则{\sum }_{n=1}^{\infty }k{u}_n也收敛，且其和为ks$

$收敛\pm 发散=发散$

$发散\pm 发散=不确定$

在级数中去掉，加上或改变有限项不影响级数的敛散性

收敛级数加括号仍收敛且和不变

级数的审敛准则

• 正项级数

${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n收敛\iff s_n上有界$

判别方法

• 比较判别法

$u_n\le v_n$

${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n收敛\Rightarrow {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n收敛$

• 比较法极限形式

${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_n}{v_n}=l$

$\{\begin{array}{l}0<l<\infty ,则{\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n与{\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n同敛散\\ l=0，则{\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n收敛\Rightarrow u_n收敛，{\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n发散\Rightarrow {\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n发散\end{array}$

• 常用级数

${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p},p>1时收敛，p\le 时发散$

${\sum }_{n=1}^{\infty }a{q}^n，q<1收敛，当q\ge 1发散$

• 比值法

${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$

• 根值法

${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{u_n}=\rho$

• 交错级数

  莱布尼兹准则

$$\begin{gathered} \sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n,u_n>0 \\ (1)u_n单调递减 \\ (2)\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0 \\ 则\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n收敛 \end{gathered}$$

• 任意项级数

  绝对收敛和条件收敛

${\sum }_{n=1}^{\infty }|u_n|收敛\Rightarrow {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n收敛，此时{\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n绝对收敛$

$若{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n收敛，{\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|发散，则称{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n条件收敛$

题型

• 常数项级数敛散性的判定

10.2 幂级数

收敛半径 收敛区域 收敛域

${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^2=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots \dots +a_n{x}^n$

• 阿贝尔定理

$$\begin{gathered} 若\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n当x=x_0(x\ne 0)时收敛，则当|x|<|x_0|时，\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n绝对收敛 \\ 若\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n当x=x_0(x\ne 0)时发散，则当|x|>|x_0|时，\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n发散 \end{gathered}$$

*$对于任何x\in (-\infty ,+\infty )都收敛$

• 仅在x=0处收敛 *$存在一个正数R,当|x|<R时绝对收敛，当|x|>R时发散$ *$若幂级数{\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n处条件收敛，则点x_0必为该幂级数收敛区间(-R,R)的一个端点$

*${\lim }_{n\to \infty }|\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho ，则R=\frac{1}{\rho }$ *${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}=\rho ，则R=\frac{1}{\rho }$

幂级数的性质

$$设\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n的收敛半径为R_1,\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n收敛半径为R_2,令R=min{R}_1,R_2,则当x\in (-R,R)$$

• 加减法

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\pm \sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n=\sum _{n=0}^{\infty }(a_n\pm b_n)x^n$$

• 可积性 和函数S(x)在（-R,R)上可积，且可逐项积分，半径不变

函数的幂级数展开

$$\begin{gathered} 如果函数f(x)在区间(x_0-R,x_0+R)上能展开为x-x_0的幂级数f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n,则其展开式是唯一的\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}{x}_0}{n!}(x-x_0{)}^n, \\ f(x)在x=x_0处的泰勒级数 \end{gathered}$$

常见的级数展开

原式	展开式
$\frac{1}{1-x}$	$$\begin{gathered} =1+x+x^2+x^3+x^n+\dots \dots \\ ={\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n \end{gathered}$$
$e^x$	$$\begin{gathered} =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ \\ ={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!} \end{gathered}$$
$cosx$	$$\begin{gathered} =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6} \\ ={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{gathered}$$
$sinx$	$$\begin{gathered} =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!} \\ ={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1{)}^n} \end{gathered}$$
$ln(1+x)$	$$\begin{gathered} =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4} \\ ={\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^n}{n} \end{gathered}$$
$tanx$	$x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
$arctanx$	$x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^5)$
$(1+x{)}^{\alpha }$	$1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\dots \dots +\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -n+1)}{n!}{x}^n$

展开方法

• 直接展法

• 间接展开法

  根据函数展开为幂级数的唯一性，从某些已知函数的展开式出发，利用幂级数的性质（四则运算，逐项求导）及变量代换等方法，求的所给函数的展开式

题型

• 求收敛半径 收敛区间及收敛域
• 将函数展开为幂级数
• 级数求和

10.3 傅里叶级数

傅里叶系数与傅里叶级数

$$\begin{gathered} a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,\dots \dots \\ {b}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,\dots \dots \\ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx) \end{gathered}$$

收敛定理

$$\begin{gathered} 设f(x)在[-\pi ,\pi ]上连续或有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数在[-\pi ,\pi ]上处处收敛，且收敛于 \\ S(x)=f(x)，当x=为f(x)的连续点 \\ S(x)=\frac{f(x^{-})+f(x^{+})}{2}，当x为f(x)的间断点 \\ S(x)=\frac{f((-\pi {)}^{+})+f((\pi {)}^{-})}{2},当x=\pm \pi \end{gathered}$$

函数展开为傅里叶级数

• $[-\pi ,\pi ]上展开$

  $$\begin{gathered} a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,\dots \dots \\ {b}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,\dots \dots \end{gathered}$$

• $[-\pi ,\pi ]上就奇偶函数的展开$

• $f(x)为奇函数$

  $$\begin{gathered} a_n=0 \\ {b}_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,\dots \dots \end{gathered}$$

• $f(x)为偶函数$$$\begin{gathered} a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,\dots \dots \\ {b}_n=0，n=1, \end{gathered}$$

• $[0,\pi ]上展开为正弦函数$

• $[-l,l]上展开$

$$\begin{gathered} a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)cos(\frac{n\pi x}{l})dx,n=0,1,2,3,\dots \dots \\ {b}_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)sin(\frac{n\pi x}{l})dx,n=1,2,3,\dots \dots \end{gathered}$$

• $[-l,l]上奇偶函数展开$

• $[0,l]上展开为正弦函数$

题型

• 有关收敛定理的问题
• 讲函数展开为傅里叶级数

第十一章 向量代数在空间解析几何及多元微分学在几何上的应用

11.1 向量代数

数量积

$$\begin{gathered} \vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|cos\alpha \\ \vec{a}\cdot \vec{b}={\vec{a}}_x{\vec{b}}_x+{\vec{a}}_y{\vec{b}}_y+{\vec{a}}_z{\vec{b}}_z \end{gathered}$$

• 交换律

• 分配律

• 求模

• 求夹角

• 判断两个向量垂直

向量积

$$几何表示\vec{a}\times \vec{b}是一个向量，模|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|sin\alpha$$

*$\vec{a}\times \vec{b}=-(\vec{b}\times \vec{a})$

• 分配律$\vec{a}\times (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}$
• 判断两向量平行$\vec{a}//\vec{b}\iff \vec{a}\times \vec{b}=0$
• 求四边形面积
• 求同时垂直于a和b 的向量

混合积

$(\vec{a}\vec{b}\vec{c})=(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}$

• 运算规律

  轮换对称

  交换变号

• 几何应用

$V_{平行六面体}=|(\vec{a}\vec{b}\vec{c})|$

判断三个向量共面

题型

• 向量的计算

11.2 空间平面 与直线

平面方程

• 一般式

$Ax+By+Cz+D=0$

• 点法式

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

• 截距式

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

直线方程

• 一般式

• 对称式

$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$

• 参数式

$x=x_0+lt,y=y_0+mt,z=z_0+nt$

平面与直线的关系

点到面的距离

$点(x_0,y_0,z_0)到Ax+By+Cy+D=0的距离$

$d=\frac{|A{x}_0+By+0+C{z}_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

点到直线的距离

$$\begin{gathered} 点(x_0,y_0,z_0)到直线\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n} \\ d=\frac{|\{x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0|\}\times \{l,m,n\}}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}} \end{gathered}$$

11.3 曲面与空间曲线

曲面方程

一般式 F(x,y,z)=0 或者z=f(x,y)

空间曲线

• 参数方程

$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$

• 一般式

$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$

常见曲面

• 旋转面

  一条平面曲线绕平面上一条直线旋转

  $$\begin{gathered} L是yoz平面上一条曲线，其方程是\{\begin{array}{l}f(y,z)=0\\ x=0\end{array}，则 \\ L绕Y轴旋转所成的旋转面方程为f(y,\pm \sqrt{x^2+z^2}) \end{gathered}$$

• 柱面 平行定直线并沿定曲线移动的直线L,形成

• 二次曲面

  • 椭圆锥面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$，圆锥面$x^2+y^2=z^2$

  • 椭球面

  • 单页双曲面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

  • 双叶双曲面

    $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

  • 椭圆抛物面

    $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$

  • 旋转抛物面

    $z=x^2+y^2$

  • 双曲抛物面

  空间曲线投影

$$\begin{gathered} 曲线\Gamma :\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}在xoy面上投影曲线方程为 \\ \{\begin{array}{l}H(x,y)=0\\ z=0\end{array}消除z即可 \end{gathered}$$

11.4 多元微分在几何应用

曲面的切平面与法线

$曲线F(x,y,z)=0，法向量：n=\{F_x,F_y,F_z\}$

$曲线z=f(x,y)，法向量：n=\{f_x,f)y,-1\}$

曲线的切线与法平面

$曲线\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array},切向量=\{x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0)\}$

$曲线\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array},切向量\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}$

第十二章 多元积分学及其应用

12. 1 三重积分

定义

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\delta }_k,{\eta }_k,{\xi }_k)\Delta v_k$$

性质

计算

• 直角坐标

  • 先一后二
  • 先二后一

• 柱坐标

  被积函数$\varphi (z)g(\sqrt{x^2+y^2})$

  被积域 为域

$\{\begin{array}{l}x=\rho cos\theta ,0\le \rho <+\infty \\ y=\rho sin\theta ,0\le \theta \le 2\pi \\ z=z,-\infty <z<+\infty \end{array}$

• 球坐标

  被积区域为球

  被积函数为$f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$

• 奇偶性

• 对称性

12.2 曲线积分

对弧长的线积分(第一类线积分)

函数值乘以弧长

• 定义

$${\int }_{L}f(x,y)ds=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\eta }_i,{\xi }_i)\Delta s$$

• 性质

  和路径无关

• 计算方法

  • 直接法

  ${\int }_{C}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(t),t(t))\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt$

  ${\int }_{C}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x,y(x))\sqrt{+y^{\prime 2}(x)}dx$

  $$\begin{gathered} 若C:\rho =\rho (\theta ),\alpha \le \theta \le \beta \\ {\int }_{C}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\rho (\theta )cos\theta ,\rho (\theta )sin\theta )\sqrt{{\rho }^2(\theta )+{\rho }^{\prime 2}(\theta )d\theta } \end{gathered}$$

  • 利用奇偶性

  • 利用对称性

  • 空间曲线L的方程

  ${\int }_{L}f(x,y,z)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x^{\prime 2}(t),y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)}dt$

对坐标的线积分(第二类线积分)

函数值乘以x上投影，y上的投影

• 定义

${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}P({\phi }_i,{\xi }_i)\Delta x_i+Q({\phi }_i,{\xi }_i)\Delta y_i$

• 性质

  和方向有关

• 计算方法（平面）

  • 直接法

  $L=\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array},t\in [\alpha ,\beta ]，则$

  ${\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_{\alpha }^{\beta }[P(x(t),y(t))x^{\prime }(t),Q(x(t),y(t))y^{\prime }(t)]dt$

  • 格林公式

    使用条件为封闭空间

  ${\int }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})$

  • 利用线积分与路径无关

  $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}区域单连通$

  改变路径

• 计算方法(空间)

  • 直接法
  • 斯托克斯公式（空间曲线)

12.3 曲面积分

对面积的面积分(第一类面积分)

• 定义

${\iint }_{\sum }f(x,y,z)dS={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\eta }_i,{\xi }_i,{\phi }_i)\Delta S_i$

• 性质

• 计算方法

  • 直接法

  $\sum :z=z(x,y),(x,y)\in D$

  ${\iint }_{\sum }f(x,y,z)dS={\iint }_{D}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}d\sigma$

  • 利用奇偶性

  • 利用对称性

对坐标的面积分(第二类面积分)

• 定义

• 性质

  有正负号有区分

• 计算方法

  • 直接法

  $z=z(x,y),(x,y)\in D$

  \iint_\sum R(x,y,z)dxdy=\pm \iint_DR(x,y,z(x,y))d\sigma

  • 高斯公式

  $\iint Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV$

  • 补面用高斯公式

• 两类面积分的连续

12.4 多元积分应用

	平面板	空间体	曲线	曲面
质量
质心
转动惯量
几何度量

• 变力做功
• 通量

12.5 场论初步

方向导数

$$\begin{gathered} 若z=f(x,y)可微，则 \\ \frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta \end{gathered}$$

梯度

梯度是一个向量，方向为最大的值

$$gradu=\frac{\partial u}{\partial x}i+\frac{\partial u}{\partial y}j+\frac{\partial u}{\partial z}k$$

散度

是一个数

$$\begin{gathered} 设有向量场A(x,y,z)=\{P,Q,R\} \\ divA=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \end{gathered}$$

旋度

$$\begin{gathered} 设有向量场A(x,y,z)=\{P,Q,R\} \\ rotA=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right| \end{gathered}$$

错题集锦

高数部分

• 题目	解析	答案
  $$\begin{gathered} 下列函数f(x)中，导函数f^{\prime }在x=0处不连续的是 \\ A.f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^{\frac{4}{3}}sin\frac{1}{x},x\ne 0\\ 0,x=0\end{array}B.f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{sinx}{x},x\ne 0\\ 1,x=0\end{array} \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 设f(x)=\{\begin{array}{l}\mid x{\mid }^{\alpha }sin\frac{1}{x},x\ne 0\\ 0,x=0\end{array}, \\ 则f(x)在x=0处连续，a>0 \\ 在f(x)在x=0处可导，a>1， \\ 在x=0处f^{\prime }(x)连续，a>2 \end{gathered}$$	A

• 题目	解析	答案
  $$\begin{gathered} 以下四个问题，正确的是 \\ A.若f^{\prime }在(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内有界 \\ B.若f(x)在(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内有界 \\ C.若f^{\prime }(x)在(a,b)内有界，则f(x)在(a,b)内有界 \end{gathered}$$		C

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案