2021 考研线代（34分）

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填空题 1个

解答2 个

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1. 行列式-数

概念

不同行不同列元素乘积的代数和$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$

1.1 计算

1)数字型行列式

• 性质

  进行转置行列式不变	$\mid A^T\mid =\mid A\mid$
  两行或者两列互换位置，行列式的值变号
  某行或者某列有着公因式k,可以把k 提出到行列式记号外
  行列式某行(某列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和	$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1+b_1& a_2+b_2& a_3+b_3\\ c_1& c_2& c_3\\ d_1& d_2& d_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ c_1& c_2& c_3\\ d_1& d_2& d_3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\\ d_1& d_2& d_3\end{array}\right|$
  某行或列的k 倍加到另一行(或列),行列式的值不变	$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1+k{a}_1& b_2+k{a}_2& b_3+k{a}_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|$
  拉普拉斯展开式	$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{cc}A& \ast \\ O& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& O\\ \ast & B\end{array}\right|=\mid A\mid \cdot \mid B\mid \\ \left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& \ast \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\ast & A\\ B& O\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}\mid A\mid \cdot \mid B\mid \end{gathered}$$
  范德蒙行列式	$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a_1& a_2& a_3\\ a_1^2& a_2^2& a_3^2\end{array}\right|=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)$

• 行列式计算普通方法

方法	例题
逐行相加	$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{cccc}{a}_1& -1& 0& 0\\ a_2& x& -1& 0\\ a_3& 0& x& -1\\ a_4& 0& 0& x\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& -1& 0& 0\\ a_{1}x+a_2& 0& -1& 0\\ a_3& 0& x& -1\\ a_4& 0& 0& x\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& -1& 0& 0\\ a_{1}x+a_2& 0& -1& 0\\ a_1{x}^2+a_{2}x+a_3& 0& 0& -1\\ a_4& 0& 0& x\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& -1& 0& 0\\ a_{1}x+a_2& 0& -1& 0\\ a_1{x}^2+a_{2}x+a_3& 0& 0& -1\\ a_1{x}^3+a_2{x}^2+a_{3}x+a_4& 0& 0& 0\end{array}\right| \end{gathered}$$
(递推法)	$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{cccccc}2a& 1& & & & \\ a^2& 2a& 1& & & \\ & a^2& 2a& 1& & \\ & & \dots \dots & & & \\ & & a^2& 2a& 1& \\ & & & a^2& 2a& \end{array}\right| \\ 答案（n+1)a^n,用数学归纳法证明D_k=2a{D}_{k-1}-a^2{D}_{k-2} \end{gathered}$$

2)抽象行列式

行列式性质	$$\begin{gathered} 若A是n阶矩阵，A^T是A的转置矩阵，则\mid A^T\mid =\mid A\mid ; \\ 若A是n阶矩阵，则\mid kA\mid =k^n\mid A\mid ； \\ 若A是n阶矩阵，A^{\ast }是A的伴随矩阵，则\mid A^{\ast }\mid =\mid A{\mid }^{n-1} \\ 若A是n阶可逆矩阵，A^{-1}是A的逆矩阵，则\mid A^{n-1}\mid =\mid A{\mid }^{-1} \\ 若矩阵A和B相似AB，则\mid A\mid =\mid B\mid \\ 若A是n阶矩阵，A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=\mid A\mid E \\ A-n阶，特征值为{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_n\mid A\mid =\prod {\lambda }_i \end{gathered}$$
正交矩阵的性质	$A{A}^T=A^{T}A=E,\mid A{\mid }^2=1$
3阶特征值展开	$\mid \lambda E-A\mid ={\lambda }^3-({\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3){\lambda }^2+\lambda -{\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3={\lambda }^3-(a_{11}+a_{22}+a_{33}){\lambda }^2+S_2\lambda -\mid A\mid$
代数余子式应用	$$\begin{gathered} 展开式\mid A\mid =a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}++a_{in}{A}_{in} \\ 当i\ne j时 \\ {a}_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+\cdots +a_{in}{A}_{jn}=0 \end{gathered}$$
矩阵不可逆	$A矩阵不可逆，\mid A\mid =0$

1.2 应用

1)特征值多项式

$A^{\ast },A^{-}1相关，无关，正定$、

2)克拉默法则(证明题)

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a12x_2+\dots \dots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a22x_2+\dots \dots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \dots \dots \\ a_{n1}{x}_1+an2x_2+\dots \dots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array} \\ D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots \dots & a_{2n}\\ & & \dots \dots & \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots \dots & a_{nn}\end{array}\right|,D_1=\left|\begin{array}{cccc}{b}_1& a_{12}& \dots \dots & a_{1n}\\ b_2& a_{22}& \dots \dots & a_{2n}\\ & & \dots \dots & \\ b_n& a_{n2}& \dots \dots & a_{nn}\end{array}\right| \\ \mid D\mid \ne 0,方程组有唯一解，且x_1=\frac{\mid D_1\mid }{\mid D\mid },x_2=\frac{\mid D_2\mid }{\mid D\mid }，\dots \dots x_n=\frac{\mid D_n\mid }{\mid D\mid } \\ 若D\ne 0,则AX=0只有零解 \\ AX=0有非零解，则\mid A\mid =0 \end{gathered}$$

1.3 证明题

$$\begin{gathered} Ax=0有非零解 \\ r(A)<n, \\ \mid A\mid =-\mid A\mid \end{gathered}$$

1.4 题型

题型	题目	解答
	$$\begin{gathered} \mid A\mid =\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 2& -1\\ -2& 3& 4& 1\\ 3& 4& 1& 2\\ -4& 2& 0& 6\end{array}\right| \\ 求1.A_{12}-2A_{22}+3A_{32}-4A_{42}= \\ 2.A_{31}+2A_{32}+A_{34} \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 1.答案0 \\ =a_{11}{A}_{12}+a_{21}{A}_{22}+a_{31}{A}_{32}+a_{41}{A}_{41} \\ =0 \\ 2.答案-40 \\ 构造新的行列式\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 2& -1\\ -2& 3& 4& 1\\ 1& 2& 0& 1\\ -4& 2& 0& 6\end{array}\right| \\ =-40 \end{gathered}$$
	$$\begin{gathered} A,B-3阶，\mid A\mid =3,\mid B\mid =2, \\ \mid A^{-1}+B\mid =2,则\mid A+B^{-1}\mid = \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mid EA+B^{-1}A\mid \\ =\mid (B^{-1}B)A+B^{-1}(A^{-1}A)\mid \\ =\mid B^{-1}(B+A^{-1})A\mid \\ =\frac{1}{2}\ast 2\ast 3=3 \end{gathered}$$
	$$\begin{gathered} A-4阶正交矩阵，\mid A\mid <0,\mid B-A\mid =5, \\ 则\mid E-A{B}^T\mid = \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mid A{A}^T-A{B}^T\mid \\ =\mid A(A^T-B^T)\mid \\ =\mid A\mid \mid A^T-B^T\mid \\ =(-1)\mid (B-A{)}^T\mid \\ =(-1)\ast (-1{)}^4\mid (A-B{)}^T\mid \\ =-5 \end{gathered}$$
相似	$$\begin{gathered} A-3阶，{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3-3维线性代数无关列向量 \\ A{\alpha }_1={\alpha }_2+{\alpha }_3， \\ A{\alpha }_2={\alpha }_1+{\alpha }_3, \\ A{\alpha }_3={\alpha }_1+{\alpha }_2+2{\alpha }_3,求\mid A^{\ast }\mid \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} A({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 3\\ 1& 1& 2\end{array}\right| \\ AP=PB \\ {P}^{-1}AP=B \\ A,B相似\mid A\mid =2 \\ \mid A^{\ast }\mid =\mid A{\mid }^{n-1}=\mid A{\mid }^2=4 \end{gathered}$$
	$$\begin{gathered} A-3阶，E-3阶单位矩阵， \\ 如A,A-2E,3A+2E均不可逆， \\ \mid A+E\mid = \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 因为不可逆，所以行列式等于0 \\ \mid A\mid =0,\mid A-2E\mid =0,\mid 3A+2E\mid =0 \\ (-1{)}^3\mid 0E-A\mid =0, \\ (-1{)}^3\mid 2E-A\mid =0, \\ (-3{)}^3\mid -\frac{2}{3}E-A\mid =0, \\ 求出特征值0,2,-\frac{2}{3}， \\ A+E的特征值1,3，\frac{1}{3}， \\ \mid A+E\mid =1\ast 3\ast \frac{1}{3}=1 \end{gathered}$$

1.5 方法总结

问题	基本思路
$证明行列式\mid A\mid 为0$	$$\begin{gathered} 1.矩阵不可逆 \\ 2.r(A)<n \\ 3.Ax=0有非零解 \\ 4.0是矩阵A的特征值 \\ 5.A的行列式向量线性相关 \end{gathered}$$

2. 矩阵

2.1 概念及运算

$矩阵是一个m\ast n的表格,[a_{ij}{]}_{m\ast n}$

1)运算

方阵的幂	$$\begin{gathered} (A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2\ne A^2+2AB+B^2 \\ (AB{)}^k=(AB)(AB)\cdots (AB)\ne A^k{B}^k \end{gathered}$$
	$$\begin{gathered} AB=C，C的行向量可以用B的行向量线性表示 \\ AB=C，C是列向量可以用A的列向量线性表示 \end{gathered}$$
加减法
转置	$$\begin{gathered} (A+B{)}^T=A^T+B^T \\ (AB{)}^T=B^T{A}^T \\ (A^T{)}^T=A \\ (kA{)}^T=k{A}^T \end{gathered}$$
乘法,只有结合律	$$\begin{gathered} (AB)C=A(BC) \\ A(B+C)=AB+AC \\ (B+C)A=BA+CA \end{gathered}$$

2)特殊矩阵

$$\begin{gathered} 1.单位矩阵，主对角元素为1 \\ 2.对角阵，非对角元素都是0 \\ 3.上(下)三角矩阵，当i<j(j<i)时，a_{ij}=0的矩阵表示上(下角矩阵 \\ 4.对称矩阵,满足A=A^T,及a_{ij}=a_{ji} \\ 5.正交矩阵，A{A}^T=A^{T}A=E，的矩阵成为正交矩阵A^T=A^{-1} \\ 6.初等矩阵:单位矩阵经过初等变换所得到的矩阵 \\ 7.行最简矩阵：非零行的主元都是1，且主元所在列的其他元素都是0 \end{gathered}$$

2.2 伴随矩阵，可逆矩阵

1)概念

伴随矩阵

$$\begin{gathered} 矩阵A的行列式\mid A\mid 所有的代数余子式所构成的 \\ \left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right] \\ 的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记为A^{\ast } \end{gathered}$$

可逆矩阵

$$AB=BA=E(单位矩阵),A是可逆矩阵，B是A的可逆矩阵$$

2)公式

公式介绍	证明
$$\begin{gathered} 核心公式A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=\mid A\mid E \\ (A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }=\frac{1}{\mid A\mid }A \\ \mid A^{\ast }\mid =\mid A{\mid }^{n-1} \\ (A^{\ast }{)}^{\ast }=\mid A{\mid }^{n-2}A \\ {A}^{-1}=\frac{1}{\mid A\mid }{A}^{\ast } \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} A{A}^{\ast }=\mid A\mid E \\ {A}^{-1}A{A}^{\ast }=\mid A\mid A^{-1}E \\ {A}^{\ast }=\mid A\mid A^{-1} \end{gathered}$$
$r(A)=n-1\iff \mid A\mid =0且A中有n-1阶子式不为0$
$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{l}n,如r(A)=n\\ 1,如r(A)=n-1\\ 0,如r(A)\end{array}$
$(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$

公式对比

逆矩阵公式	转置公式
$(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$	$(kA{)}^T=k{A}^T$
$(A^{-1}{)}^{-1}=A$	$(A^T{)}^T=A$
$(A^2{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^2$	$(A^2{)}^T=(A^T{)}^2$
$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$	$(AB{)}^T=B^T{A}^T$
$(A+B{)}^{-1}没公式$	$(A+B{)}^T=A^T+B^T$

$$\begin{gathered} (A-B{)}^2=E \\ (A-B{)}^{-1}=A-B \end{gathered}$$

3)求逆矩阵

• 用公式

  $A^{-1}=\frac{1}{\mid A\mid }{A}^{\ast }$

• 初等变换

• 分块矩阵

$$\left[\begin{array}{cc}B& O\\ O& C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{B}^{-1}& O\\ O& C^{-1}\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ C& O\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}O& C^{-1}\\ B^{-1}& O\end{array}\right]$$

2.3 初等矩阵，初等变换

1)初等变换

• 倍乘

  $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& k& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

• 互换

  $\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

• 倍加

  $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ k& 0& 1\end{array}\right]$

2)初等矩阵

$$\begin{gathered} 单位矩阵经过初等变化后就是初等矩阵 \\ 初等矩阵P左乘A,所得PA就是A做了一次与P同样的行变换 \\ 初等矩阵均可逆，且其逆矩阵也是初等矩阵 \\ 初等矩阵的逆矩阵三种，行变换和列变换的就是变成负数 \\ 交换两行变换的就是自己本身 \\ 还有就是对角线上的逆矩阵就是倒数 \end{gathered}$$

2.4 矩阵的秩

1)概念

$$秩r(A)=r\iff 矩阵A中非零子式的最高阶数是r$$

2)性质

常见的关于秩的不等式	证明
$如果A~ B,AB相似，则r(A)=r(B),r(A+kE)=r(B+kE) $
$$\begin{gathered} 设A-m\ast n,B-n\ast s,如果AB=0, \\ 1.B的列向量是Ax=0的解， \\ 2.r(A)+r(B)\le n \end{gathered}$$
$r(\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right])=r(A)+r(B)$
$如果A可逆，r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)$
$$\begin{gathered} r(A+B)\le r(A)+r(B) \\ r(AB)\le min(r(A),r(B)) \\ 如果C可逆，B=AC,r(B)=r(AC)=r(A) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 可逆矩阵的秩为n,\mid A\mid \ne 0,Ax=0只有零解,0不是A的特征值 \\ \mid A\mid =0,Ax=0有非零解 \end{gathered}$$
$A-m\ast n,如m<n，Ax=0，必有非0解$
$秩为1的n阶方阵A=\alpha {\beta }^T,\alpha ,\beta 为n维列向量。A^k=({\alpha }^T\beta {)}^{k-1}A$
$$\begin{gathered} r(A^{T}A)=r(A) \\ r(kA)=r(A) \end{gathered}$$
$r(A)=1,能够推出A^2=lA,l=\sum a_{ii}$
$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

2.5 分块矩阵

$$\begin{gathered} {\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{cc}{A}^n& O\\ O& B^n\end{array}\right] \\ {\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right] \end{gathered}$$

2.6 解法

怎么求行列式等于0，反证法，克莱姆法则，秩，特征值，相反数

问题	问题	思路
$A^2=A,A\ne E,求证\mid A\mid =0$	$$\begin{gathered} 假设\mid A\mid \ne 0,A(A-E)=0, \\ 又因为\mid A\mid \ne 0\iff A\ne 0 \\ 所以A-E=0，A=E与题意不符， \\ 所以\mid A\mid =0 \end{gathered}$$	反证法
	$$\begin{gathered} A^2=A\Rightarrow A(A-E)=0 \\ A-E的列向量是Ax=0的解Ax=0的解 \\ A-E\ne 0，所以Ax=0有非0解，\mid A\mid =0 \end{gathered}$$	克莱姆法则
	$$\begin{gathered} A^2=A,即A(A-E)=0, \\ 所以r(A)+r(A-E)\le n,因为A-E\ne 0,r(A-E)\ge 1,所以r(A)<n,所以\mid A\mid =0 \end{gathered}$$	秩
知道逆矩阵，求伴随矩阵，知道伴随矩阵，求逆矩阵

2.7 例题

题型	题目	解答
	$$\begin{gathered} A=[a_{ij}{]}_{3\ast 3}，满足A^{\ast }=A^T， \\ 若a_{11},a_{12},a_{13}为三个相等的正数, \\ 则a_{11}为 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} A^{\ast }=A^T\iff a_{ij}=A_{ij} \\ \mid A\mid =a_{11}{A}_{11}+a_{12}{A}_{12}+a_{13}{A}_{13}=3a_{11}^2 \\ \mid A^{\ast }\mid =\mid A{\mid }^{n-1}=\mid A{\mid }^2 \\ \mid A^T\mid =\mid A\mid \\ \mid A{\mid }^2=\mid A\mid ,因为\mid A\mid =3a_{11}^2>0 \\ \mid A\mid =1,a_{11}=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{gathered}$$
	$$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -2& 3& 0& 0\\ 0& -4& 5& 0\\ 0& 0& -6& 7\end{array}\right] \\ B=(E+A{)}^{-1}(E-A) \\ 求(E+B{)}^{-1} \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} (E+B{)}^{-1}=(E+(E+A{)}^{-1}(E-A){)}^{-1} \\ =((E+A{)}^{-1}(E+A)+(E+A{)}^{-1}(E-A)) \\ =((E+A{)}^{-1}(E+A+E-A)) \\ =(2E(E+A{)}^{-1}{)}^{-1}=\frac{1}{2}(E+A) \end{gathered}$$
	$$\begin{gathered} A,B都是正交矩阵 \\ \mid A\mid +\mid B\mid =0, \\ 求\mid A+B\mid \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mid A+B\mid =\mid EA+BE\mid \\ =\mid B{B}^{T}A+B{A}^{T}A\mid \\ =\mid B(B^T+A^T)A\mid \\ =\mid B\mid \cdot \mid (B+A{)}^T\mid \cdot \mid A\mid \\ =-\mid A{\mid }^2\mid B+A\mid \\ -\mid A+B\mid , \\ 所以\mid A+B\mid =0 \end{gathered}$$
	$$\begin{gathered} r(A)=1表示A矩阵可以表示为\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\end{array}\right], \\ {A}^2=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]=一个数字 \\ {A}^2=CA,然后开始递推 \\ {A}^n=C^{n-1}A \end{gathered}$$
特殊方阵的幂	$$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{ccc}0& a& b\\ 0& 0& c\\ 0& 0& 0\end{array}\right]型 \\ {A}^2=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& ac\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right] \\ 拓展 \\ A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 1\end{array}\right],求A^n \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 0& 0& 4\\ 0& 0& 0\end{array}\right]=E+B \\ {A}^n=(E+B{)}^n \\ =E^n+n{E}^{n-1}B+C_n^2{E}^{n-1}{B}^2+C_n^3{E}_{n-2}{B}^3+\cdots \\ =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]+n\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 0& 0& 4\\ 0& 0& 0\end{array}\right]+\frac{n(n+1)}{n}\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 24\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right] \end{gathered}$$
相似的题目	$$\begin{gathered} P^{-1}AP=B \\ (P^{-1}AP)(P^{-1}AP)=B^2 \\ {P}^{-1}{A}^{2}P=B^2 \\ {A}^n=P{B}^n{P}^{-1} \\ {A}^n=P{\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& & \\ & a_2& \\ & & a_3\end{array}\right]}^n{P}^{-1}=P\left[\begin{array}{ccc}{a}_1^n& & \\ & a_2^n& \\ & & a_3\end{array}\right]P^{-1} \end{gathered}$$
	$$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}+2a_{31}& a_{22}+2a_{33}& a_{23}+2_{a32}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right] \\ 若A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 4& 5\\ 0& 0& 6\end{array}\right],则B^{-1}= \end{gathered}$$

3. 向量

3.1 概念

$n个数a_1,a_2,a_3,a_n所构成的一个有序数组称为n维向量，记成(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$

运算

零向量，所有的分量都是0

• 加法

• 数乘

• 内积

  $(\alpha ,\beta )=a_1{b}_1,a2b_2,+\cdots +a_n{b}_n=a^T\beta ={\beta }^T\alpha$

3.2 线性表出，线性相关

线性表的概念

$对n维向量{\alpha }_1,{\alpha }_2,如果存在实数k_1,k_2,k_3,使得k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_n{\alpha }_n=\beta ,称向量\beta 是向量是组合$

线性相关

$$\begin{gathered} 对n维向量{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s，若果\exists 不全为0的k_1,k_2,k_3,\cdots ,k_n \\ 使得k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s=0成立, \\ 则称向量组{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3+\cdots 线性相关，否则称{\alpha }_1,{\alpha }_2，线性无关 \end{gathered}$$

其次方程组线性相关=有非零解=秩<n

性质

$$\begin{gathered} 如果{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r线性相关 \\ 则{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r,{\alpha }_s必相关 \\ 低维向量无关，高维向量必无关 \end{gathered}$$

3.3 极大线性无关组，秩

概念

• $$\begin{gathered} 设向量组{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s中，有一部分组a_{i1},a_{i2},a_{ir}，满足条件 \\ {a}_{i1},a_{i2},a_{ir}线性无关, \\ 再添加一个向量a_j(1\le j\le s)，向量组必相关 \\ 则称向量组是极大线性无关组 \end{gathered}$$

• $向量组{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s的极大线性无关组中所含向量的个数r称为该向量组的秩，记为r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_s)=r$

秩的定理

定理
$$\begin{gathered} {\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots ，{\alpha }_s可以由{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_t线性表出。且是s>t， \\ 则{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots ，{\alpha }_s必相关 \\ 如果{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots ，{\alpha }_s无关，且{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots ，{\alpha }_s可以由{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_t线性表出 \\ 可以推出s\le t \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 如果向量组(1){\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,可以由(2){\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s线性表出 \\ 则r(1)\le r(2) \\ 如果向量组1,2等价，则r(1)=r(2) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 如果向量组(1){\alpha }_{i1},{\alpha }_{i2},\cdots ,{\alpha }_{is},(2){\beta }_{j1},{\beta }_{j2},\cdots ,{\beta }_{j2}， \\ 都是{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots ，{\alpha }_s的极大线性无关组 \\ 则r=t \end{gathered}$$
$经过初等变换向量组的秩不变$

3.4 schmidt正交化，正交矩阵

$$\begin{gathered} 设向量组{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3线性无关。 \\ 令{\beta }_1={\alpha }_1, \\ {\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1 \\ {\beta }_3={\alpha }_3-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2 \\ 然后在单位化 \end{gathered}$$

3.5 向量空间

全体n 维向量连同向量的加法和数乘运算合成为n 维向量空间

过渡矩阵

$$\begin{gathered} 1.{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n, \\ 2.{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n \\ =[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n]C \\ C为基\alpha 到\beta 的过渡矩阵 \end{gathered}$$

3.6 例题

t考点	问题	解答
	$$\begin{gathered} 重组的例题 \\ 设{\lambda }_1,{\lambda }_2是矩阵A不同的特征值 \\ {\alpha }_1,{\alpha }_2是{\lambda }_1线性无关的特征向量， \\ \alpha 是{\lambda }_2的特征向量，证明{\alpha }_1,{\alpha }_2,\alpha 线性无关 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} A{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1,A{\alpha }_2={\lambda }_1{\alpha }_2, \\ A\alpha ={\lambda }_2\alpha \\ {k}_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k\alpha =0 \\ 用A左乘 \\ A{k}_1{\alpha }_1+A{k}_2{\alpha }_2+Ak\alpha =0 \\ {k}_1{\lambda }_1{\alpha }_1+k_2{\lambda }_1{\alpha }_2+k{\lambda }_2\alpha =0 \\ 用{\lambda }_1乘 \\ {\lambda }_1{k}_1{\alpha }_1+{\lambda }_1{k}_2{\alpha }_2+{\lambda }_{1}k\alpha =0 \\ 然后两个式子相减 \end{gathered}$$
	$$\begin{gathered} A-3阶，{\alpha }_1,{\alpha }_2是A分别特征值-1和1的特征向量， \\ 且A{\alpha }_3={\alpha }_2+{\alpha }_3 \\ 证明{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3线性无关 \\ 求A的相似矩阵 \end{gathered}$$

3.7 解法总结

证明问题	方法
$$\begin{gathered} 证明向量线性无关 \\ {\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3线性无关 \\ 证明2{\alpha }_1+3{\alpha }_2,{\alpha }_2-{\alpha }_3,{\alpha }_1-{\alpha }_2+{\alpha }_3 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 方法一： \\ 第一步设k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s=0 \\ 方法有两个 \\ 1.乘 \\ 2.重组 \\ 方法二：用线性表出来做 \\ 方法三：用秩来做 \end{gathered}$$
$证明线性表出$	$$\begin{gathered} 用秩做 \\ 证明k\ne 0 \end{gathered}$$
线性表出和线性相关的关系	能够线性表出的几个向量一定可以线性相关。反之不一定。
基础解系的个数与秩的关系?	$$\begin{gathered} 基础解系的个数=n-秩 \\ 个数=n-r(A) \\ 5\ast 4矩阵，n为4 \end{gathered}$$

4. 方程组

4.1 齐次线性方程组

性质
$Ax=0有非零解\iff 秩r(A)<n\iff A的列向量线性相关$
${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_t是Ax=0的解，则k_1{\lambda }_1+k_2{\lambda }_2+\cdots +k_t{\lambda }_t是Ax=0的解$
$若Ax=0有非0解，则线性无关，解向量的个数为n-r(A)$
$$\begin{gathered} t=n-r(A) \\ 表示线性无关解向量的个数 \\ 未知数中自由变量的个数 \end{gathered}$$

4.2 非齐次方程组

参数的处理，讨论

解的结构

$$\begin{gathered} AX=B有解\iff r(A)=r(\overline{A}) \\ 有唯一解r(A)=r(\overline{A})=n \\ \infty 解:r(A)=r(\overline{A})<n \\ AX=b无解r\iff r(A)+1=r(\overline{A}) \end{gathered}$$

解的性质

$$\begin{gathered} 设{\eta }_1,{\eta }_2是Ax=b的两个解，\xi 是对应齐次方程组的Ax=0的解， \\ A({\eta }_1-{\eta }_2)=0,A({\eta }_1+k\xi )=b \end{gathered}$$

解的结构

$$\begin{gathered} 设A_{m\ast n}x=b特解，对应的齐次方程组Ax=0,有基础解析，{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_{n-r}， \\ 则解为k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_{n-r}{\xi }_{n-r}+\eta \end{gathered}$$

4.3 公共解，同解

概念

公共解:$方程组A_{m\ast n}x=0和B_{m\ast n}x=0的公共解是满足方程组\left[\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right]x=0的解$

同解:$若\alpha 是1的解，则\alpha 一定是2的解，反之，若\alpha 是2的解，则\alpha 必定是1的解，就称1和2同解$

性质

$A^{T}Ax=0和Ax=0是同解$

4.4 解法

问题	答案	解法

4.5 例题

考点	题目	解答
公共解的问题	$$\begin{gathered} 有基础解系为 \\ 1.{\alpha }_1=(1,0,2,3{)}^T,{\alpha }_2=(0,1,3,5{)}^T \\ 2.{\beta }_1=(2,-1,a+2,1),{\beta }_2=(-1,2,4,a+8{)}^T \\ 求1，2的非0公共解 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 设非0解公共解为r,则r=x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2=-y_1{\beta }_1-y_2{\beta }_2 \\ 既有x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+y_1{\beta }_1+y_2{\beta }_2=0 \\ A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2) \\ 对于Ax=0的系数矩阵A为初等行变换 \\ A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -1\\ 0& 1& -1& 2\\ 2& 3& a+2& 4\\ 3& 5& 1& a+8\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -1\\ 0& 1& -1& 2\\ 0& 0& a+1& 0\\ 0& 0& 0& a+1\end{array}\right] \\ r\ne 0\iff x_i,y_i不全为0 \\ r(A)<4 \\ a=-1 \end{gathered}$$
	$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right]X=\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ 3& 4\end{array}\right]$	$x-3\ast 2的矩阵，答案\left[\begin{array}{cc}2-2k_1& 6-2k_2\\ k_1& k_2\\ 1+3k_1& -2+3k_2\end{array}\right]$

5. 特征值，特征向量，相似矩阵

5.1 特征值，特征值向量

概念

$$\begin{gathered} A是n阶方阵，如果对于数\lambda ,存在非零向量\alpha ，使得A\alpha =\lambda \alpha \\ 成立，则称\lambda 是A的特征值,\alpha 是A的对应于\lambda 的特征向量 \end{gathered}$$

性质

矩阵的特征值，特征向量的性质	证明
$$\begin{gathered} A\alpha =\lambda \alpha ,\alpha \ne 0 \\ \alpha 是(\lambda E-A)x=0的非零解 \end{gathered}$$
$\mid \lambda E-A\mid =0$
$P^{-1}AP=B$
${\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i=\mid A\mid$
$$\begin{gathered} 如果是n阶矩阵，r(A)=1 \\ \mid \lambda E-A\mid ={\lambda }^n-\sum a_{ii}{\lambda }^{n-1} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 不同特征值的特征向量线性无关 \\ k重特征值至多有k个线性无关的特征向量 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 如果P^{-1}AP=B \\ 若A\alpha =\lambda \alpha ,则B(P^{-1}\alpha )=\lambda (P^{-1}\alpha ) \\ 若B\alpha =\lambda \alpha ,则A(P\alpha )=\lambda (P\alpha ) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 特征值相等是矩阵相似的必要条件。特征值相等不一定相似 \\ 除非这些特征值都不同。比如1,2 \\ 如果有特征值重根的时候，就需要验证了 \end{gathered}$$

特征值的算法

$A(矩阵)$	$\lambda$ 特征值	$\alpha 特征向量$
$A+kE$	$\lambda +k$	$\alpha$
$A^{-1}$	$\frac{1}{\lambda }$	$\alpha$
$A^{\ast }$	$\frac{1}{\lambda }\mid A\mid$	$\lambda$
$A^n$	${\lambda }^n$	$\alpha$
$P^{-1}AP$	$\lambda$	$P^{-1}\alpha$

5.2 相似矩阵，矩阵的相似对角化

概念

$$\begin{gathered} 设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P,使得P^{-1}AP=B,则称A相似B，记为A\sim B \\ 若A\sim \Lambda ,其中\Lambda 是对角阵，称A可相似对角化，\Lambda 是A的相似标准型 \end{gathered}$$

性质

两个矩阵相似推出的结论
$\mid \lambda E-A\mid=\mid \lambda E-B\mid\ \mid A+kE\mid =\mid B+kE\mid $
$r(A)=r(B)$
$A,B有着相同的特征值$
$\mid A\mid =\mid B\mid ={\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i$
$\sum a_{ii}=\sum b_{ii}$
$$\begin{gathered} A\sim B \\ A+kE\sim B+kE \\ {\lambda }_{A+kE}={\lambda }_{B+kE} \end{gathered}$$
$传递性:A\sim B,B\sim C,\iff A\sim C$
$A\sim B,A^n\sim B^n$
$A\sim \Lambda \Leftrightarrow A有n个特征向量 $

5.3 实对称矩阵的相似对角化

概念

$实对称矩阵:元素a_{ij}都是实数的对称矩阵，a_{ij}是实数，A^T=A$

性质

实对称矩阵必与对角矩阵相似
实对称矩阵不同特征值的不同特征向量相互正交
$$\begin{gathered} 实对称矩阵必相似于对角阵，即存在逆矩阵P,使得P^{-1}AP=\Lambda , \\ 且存在正交阵Q,Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda \end{gathered}$$
实对称矩阵特征值必是实数

5.4 例题

$$\begin{gathered} A-2阶，{\alpha }_1,{\alpha }_2-2维无关，且A{\alpha }_1={\alpha }_2,A{\alpha }_2=-2{\alpha }_1+3{\alpha }_2 \\ 求A的特征值 \\ 求可逆矩阵P使得P^{-1}AP=\Lambda \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} A({\alpha }_1,{\alpha }_2)=({\alpha }_2,-2{\alpha }_1+3{\alpha }_2) \\ A({\alpha }_1,{\alpha }_2)=({\alpha }_1,{\alpha }_2)\left[\begin{array}{cc}0& -2\\ 1& 3\end{array}\right] \end{gathered}$$
$A-3阶实对称，r(A)=2,若A^2=A,则A的特征值$
$$\begin{gathered} A-3阶实对称，各行元素之和全为3,{\alpha }_1=(-1,2,-1{)}^T, \\ {\alpha }_2=(0,-1,1{)}^T是Ax=0的解， \\ 求A的特征值，特征向量 \\ 求正交矩阵Q使Q^{T}AQ=\Lambda \\ 求A及(A-\frac{3}{2}E{)}^6 \end{gathered}$$

5.5 解法总结

6. 二次型

6.1 二次型概念

概念

$$\begin{gathered} f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=a_{11}{x}_1^2+2a_{12}{x}_1{x}_2+2a_{1n}{x}_1{x}_n+a_{mn}{x}_n^2 \\ 称为n个变量的二次型，系数均为实数是，称为n元二次型 \end{gathered}$$

二次型表示

$$\begin{gathered} f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1{x}_2-4x_1{x}_3 \\ =(x_1,x_2,x_3)\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 1& 5& 0\\ -2& 0& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right] \\ =x^{T}Ax \\ 平方项系数写在主对角线上 \end{gathered}$$

6.2 标准型，规范性

1)概念

标准型	$$\begin{gathered} 二次型f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)只有平方项，没有混合项(即混合项的系数全部为零) \\ {x}_1^2+5x_2^2-2x_3^2=x^T\left[\begin{array}{ccc}1& & \\ & 5& \\ & & -2\end{array}\right]x \end{gathered}$$
规范性	$$\begin{gathered} 平方项的系数只能是1，-1,0 \\ 比如x_1^2+x_2^2 \end{gathered}$$
正惯性指数	$$\begin{gathered} 是对于标准型来讲的，正平方项的系数p称为正惯性指数，负平方项系数q称为负惯性指数，p+q=r是二次型对应矩阵的秩，p-q称为符号差 \\ {x}_1^2+4x_2^2+9x_3^2对应的p=3,q=0 \\ {x}_1^2-x_2^2-x_3^2对应的p=1,q=2 \end{gathered}$$
合同	$$\begin{gathered} 设两个AB是两个n阶方程，若存在可逆阵C，使得C^{T}AC=B, \\ 则称A合同于B,继承A\simeq B \end{gathered}$$

2)性质

$$\begin{gathered} 坐标变换 \\ 任意一个二次型x^{T}Ax,都可以通过配方法可逆线性变换x=Cy，其中C是可逆阵，化为标准型 \\ 对于任意一个n阶实对称矩阵A,一定存在可逆阵C,使得C^{T}AC=A， \\ 即实对称矩阵一定合同于对角阵 \end{gathered}$$
$反身性A\simeq B$
$对称性：A\simeq B,则B\simeq A$
$传递性:A\simeq B,B\simeq C\iff A\simeq C$
$合同具有相同的秩$
$$\begin{gathered} 任一个二次型X^{T}AX都\exists 坐标变换X=cy化为标准型 \\ {y}^T\Lambda y=d_1{y}_1^2+d_2{y}_2^2+d_3{y}_3^2 \end{gathered}$$

3)变换方法

配方法

$$\begin{gathered} f=x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+2x_1{x}_2-4x_1{x}_3 \\ f=[x_1^2+2x_1(x_2-2x_3)+(x_2-2x_3{)}^2]+3x_2^2+3x_3^2-(x_2-2x_3{)}^2 \\ f=(x_1+x_2-2x_3{)}^2+2x_2-x_3^2+4x_2{x}_3 \\ f=(x_1+x_2-2x_1{)}^2+2(x_2+x_3{)}^2-3x_3^2 \\ \{\begin{array}{l}{y}_1=x_1+x_2-2x_3\\ y_2=x_2+x_3\\ y_3=x_3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_1=y_1-y_2+3y_3\\ x_2=y_2-y_3\\ x_3=y_3\end{array} \\ f=y_1^2+2y_2^2-3y_3^2 \end{gathered}$$

用正交变换变换成二次型

$$\begin{gathered} x^{T}Ax=y^T\Lambda y={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+{\lambda }_3{y}_3^2 \\ 方法步骤1.把二次型表示成矩阵形式想x^{T}Ax \\ 2.求出A的特征值及对应的特征向量 \\ 3.对重根的特征向量正交化， \\ 4.将所有的向量单位化，然后合并成正交矩阵 \end{gathered}$$

6.3 正定二次型，正定矩阵

概念

$$\begin{gathered} 对于任意非零向量x=[x_1,x_2,\cdots ,x_n{]}^T \\ 恒有f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j=x^{T}Ax>0 \\ 正定二次型的矩阵称为正定矩阵 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 反对称矩阵\mid A^T\mid =-A \\ {a}_{ii}=0,a_{ij}=-a_{ji} \end{gathered}$$

性质

性质
$正定二次型主对角线a_{ii}>0$
$A的行列式\mid A\mid >0$
$$\begin{gathered} 充要条件是 \\ A的主子式全部大于0, \\ 特征值全部大于0 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} A-m\ast n,r(A)=n \\ {A}^{T}A是正定矩阵 \end{gathered}$$
$A是正定矩阵，A^{-1}是正定矩阵$
$反对称矩阵\mid A\mid =(-1{)}^n\mid A\mid$

6.4 例题

$$\begin{gathered} f(x_1,x_2,x_3)=a{x}_1^2+(a-1)x_2^2+(a+2)x_3^2 \\ 的规范性为y_1^2-y_2^2-y_3^2 \\ a+2>a>a-1 \\ \{\begin{array}{l}a+2>0\\ a<0\\ a-1<0\end{array} \\ a\in (-2,0) \end{gathered}$$

6.5 解法总结